Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Bon c'est ce que je peux dire à propos de T, en effet, en appliquant la méthode de Newton-Côtes avec n = 1 sur chaque
intervalle [xi , xi+1], i = 0..N-1.
On obtient :
[tex]\int^{b}_{a} f(X)dX[/tex]=[tex]\sum^{i=0}_{N-1}\int^{Xi+1}_{Xi} f(X)dX[/tex][tex]\approx[/tex]T(h)
avec
T(h)=[tex]\sum^{i=N-1}_{i=0}(h/2)(f(Xi+1)+f(Xi))[/tex]

J'espère que c'est plus clair maintenant :)
merci pour tout support :)

Bonjour , la question est de montrer que :T(h/2)=T(h)/2 +[tex]\sum^{k=n-1}_{k=0}f(a+kh+h/2)[/tex]

avec: P est le polynôme d’interpolation de Lagrange de
degré<= n vérifiant P(xi ) = f (xi ), i = 0..n. On obtient alors
[tex]\int^{b}_{a} f(X)dX[/tex]est à peu prés égale à[tex]\int^{b}_{a}P(X)dX[/tex]=[tex]\int^{b}_{a}\sum^{i=n}_{i=0}f(Xi)Li(X)dX[/tex]
En utilisant le changement de variables x = a + ht dans les Li (x), on obtient :
[tex]\int^{b}_{a}P(X)dX[/tex]=[tex]\sum^{i=n}_{i=0}h f(Xi) ai [/tex] avec ai=[tex]\int^{n}_{0}\prod^{k=0,k\neq i}_{k=n}\frac{t-k}{i-k}dX[/tex]

on  a :T(h)est à peu prés égale à [tex]\sum^{i=n-1}_{i=0}(h/2)(f(Xi+1)+f(Xi))[/tex]est à peu prés égale à[tex]\int^{b}_{a}f(X)dX[/tex]
j'espère que l'énoncé est plus clair maintenant

Bpnjour,

j'espère que si j'ajoute celà à l'énoncé il deviendra plus clair  :

Soient f une fonction de classe C^n+1 sur un intervalle [a; b] et P le polynôme de Lagrange de f en les points [tex]x_0 < x_1 < .....< x_n\; \in [a,b][/tex]

Alors
[tex] f(x)-P(x)= \frac{(x-x_0)(x-x_1)......(x-x_n)}{(n+1)!}f ^{n+1}[/tex]   (g)
où [tex] a= min(x,x_0) < g < max(x, x_n)= b[/tex]

On subdivise l’intervalle [a; b] en n intervalles : [tex]x_i = a + ih [/tex],  i = 0...n-1
et  h = [tex]\frac{b-a}{n}[/tex]

On peut alors approcher [tex]\int^{b}_{a}f(x)dx [/tex] par la somme des aires des rectangles de longueur  [tex]f\left( \frac{x_{i+1}+x_i}{2}\right)[/tex] et de largeur [tex] x_{i+1} - x_i [/tex]

merci pour tout ceux qui pourront m'aider :)

Salut mstafa , T(h) est une fonction définie par f(x) et P(x) comme c'est indiqué en dessus :)

Bonsoir,

Je crois que la remarque la plus importante que j'ai formulée est la suivante :
"l'égalité que tu demandes de démontrer est fausse en générale (regarde ce qu'elle donne lorsque f=1)"

A partir de là, je ne vois pas ce que je peux dire de plus !

Roro.

P.S. Les modifications que tu as apportées concernant le symbole [tex]\approx[/tex] sont les bienvenues dans certains cas, mais malvenues dans d'autres cas : comment est définie ta fonction T ?
P.P.S Le post scriptum précédent est "négligeable" par rapport à ma remarque principale !

Salut Picatshou,

Effectivement ce symbole n'est pas présent dans l'éditeur d'équation de Fred...
Pour ton information, en latex c'est  : \approx  qui donne  [tex]\approx[/tex].

Tu n'as qu'à écrire ça à la main dans ta formules quand tu en as besoin...

Rappel :

As-tu satisfait à la demande de Roro ? Je ne crois pas...

@+

oui effectivement roro c'est une approximation j'ai pas trouvé son symbole