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On sait que                 Donc la fonction est
prolongeable par continuité au voisinage de 0.
Au voisinage de         je sépare deux cas :
  1/    Si          dans ce cas       qui est la somme
de deux intégrales              qui est divergente et          qui est une intégrale convergente
Par suite          est divergente.
  2/    Si        j'utilise une intégration par partie comme suit :

je peu repondre la convergence de cette integrale .
ton amie lehbib

Salut,
Parfait Mustafa !

Salut,

à Mustafa :

Outre la remarque de Jeff, il ne suffit pas  que  la fonction dominante soit intégrable sur le compact pour  conclure, mais  sur  tout l'intervalle parcouru par la variable [tex]x[/tex] à   savoir : [tex]]0,+\infty[[/tex].
D'ailleur, ce n'est qu'une coincidence ici que K  soit  contenu dans l'intervalle de la vriable d'integration.
On  peut avoir une  integrale  de  la  forme  [tex]F(x)=\int_J  f(t,x)  dt[/tex]  où  x  parcourt un  intervalle I   tel  que  I  et  J  soient  disjoints ...

Bonsoir,

Merci Jeff, tu as tout à fait raison.

Malika,  il est très important que tu vois ça : http://mp.cpgedupuydelome.fr/cours.php? … dPartie=-1

@+

Bonjour,

Bienvenue à la discussion Jeff,

Ton idée est très ingénieuse, je vais essayer de la détailler un peu.

Posons :          [tex]T(\beta) =\int_{0}^{+\infty} \frac{1-e^{-\beta x}}{x} cos{\lambda x} .dx[/tex]              avec            [tex]\lambda \neq 0 \,\,\, et \,\,\, \beta \geq 0[/tex]

Soit la fonction  :

        [tex]f\left (x,\beta \right ) =   \frac{1-e^{-\beta x}}{x} \,\,cos{\lambda x} \,\,dx[/tex]       définie sur         [tex]\left ]0,+\infty \right [ \times   \left ]0,+\infty \right [[/tex]

J'utilise le théorème de dérivation d'une intégrale dépendante d'un paramètre,

Vérification des axiomes

1.           [tex]f[/tex]          est continue sur    [tex]\left ]0,+\infty \right [ \times   \left ]0,+\infty \right [[/tex].

2.           [tex]\frac { \partial f }{\partial \beta} (x,\beta) \,\, = \,\,  e^{-\beta x} \cos \lambda x[/tex]        est continue sur        [tex]\left ]0,+\infty \right [ \times   \left ]0,+\infty \right [[/tex]       

3.          Soit     [tex]K[/tex]     un compact de     [tex]\left ]0,+\infty \right [[/tex]   Donc      [tex]\exists  a > 0[/tex]      tel que :

             [tex]K \subset  \left  ] a , +\infty \right [[/tex]

             Donc :

            [tex]\left |   \frac { \partial f }{\partial \beta} (x,\beta) \right | \leq e^{-a x} \cos \lambda x[/tex]       pour tout     [tex]\beta \in   K[/tex]      et      [tex]\int_{K} e^{-a x} \cos \lambda x[/tex]        est convergente.

Conclusion :

           [tex]T[/tex]    est dérivable et on a :     

           [tex]T'(\beta) = \int_{0}^{+\infty} e^{-\beta x} cos \lambda x\,\, dx[/tex]       

           Pour calculer cette dernière intégrale j'utilise deux fois une intégration par partie et je trouve :

           [tex]T'(\beta) =( \frac{\beta}{\lambda ^2 + \beta ^2})[/tex]

           Par une intégration je trouve :

           [tex]T(\beta) = \ln (\sqrt{ \lambda ^2 + \beta ^2}) + cst[/tex]

          Or     [tex]T(0) = 0[/tex]    Donc :
   
          [tex]cst = \ln \left (\frac{1}{\lambda}\right )[/tex]

          Et en fin       

                                             [tex]T(\beta ) = \ln \left ( \sqrt { 1 + \left ( \frac {\beta }{\lambda }} \right ) ^{2} \right )[/tex]

          Qu'en pensez-vous ?

Salut Malika,

Oui ta remarque est juste cette limite peut bien servir et on l'a utilisée à 1/

Pour le 2/

Voilà pour le terme            [tex]- \frac {1}{\lambda} \int _{a}^{+ \infty} \sin(\lambda x) \frac{ \beta x e^{-\beta x}  + e^{-\beta x }-1 }{x^2} \, dx[/tex]

il suffit de remarquer que            [tex]\left |\sin (\lambda x) \frac{ \beta x e^{-\beta x}  + e^{-\beta x }-1 }{x^2} \right |  \leq    \, \frac{\beta x e^{-\beta x} + e^{- \beta x}}{x^2} + \frac {1}{x^2}[/tex]

L’intégrale du deuxième terme étant convergente

pour le premier on a :

                                [tex]\lim_{x \rightarrow + \infty} \,\, x^2\,\, \frac{\beta x e^{-\beta x} + e^{- \beta x}}{x^2} = 0[/tex]       car l'exponentiel l’emporte à la puissance.

par suite       [tex]\frac{\beta x e^{-\beta x} + e^{- \beta x}}{x^2}      \leq    \frac{1}{x^2}[/tex]         à partir d'un certain rang. donc l'intégrale du deuxième terme est convergente.

Pour le calcul de l'intégrale je vais y réfléchir