Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

Pour         [tex]( 2 - \beta ) fg = \alpha f[/tex]        je fais une somme terme à terme des deux égalités suivante :   

                                                                 [tex]fg - gf = \alpha f + \beta g[/tex]

                                                     et         [tex]fg + gf = 0[/tex]

et je trouve                                               [tex]2fg = \alpha f + \beta g[/tex]

je multiplie à gauche cette dernière par       [tex]f[/tex]        qui est un projecteur

et je trouve                                               [tex]2fg =  \alpha f +\beta fg[/tex]

d'où                                                          [tex]( 2 - \beta ) fg = \alpha f[/tex]

Pour la remarque        [tex]\beta[/tex]        ne peut pas être nul car sinon         [tex]\alpha[/tex]        va être nul

les seules solutions du système serons         [tex](-2 , 2 )  \,\,\,  et \,\,\,     ( -1 , 1 )[/tex]       qui contredisent l'hypothèse d'absurde.

Salut Groupoid Kid,

     Je suis d'acore avec toi le cas qui reste n'est pas en contradiction avec la conclusion.

Et si je veux me baser sur la méthode de Freddy qui est comme tu dis élégante je dois montrer ça :

[tex]( \alpha + \beta )(fg + gf ) = 0  \,\,\, \Rightarrow \,\,\,  \alpha + \beta = 0[/tex]

Supposons par l'absurde que        [tex]\alpha +\beta \neq 0[/tex]        Donc        [tex]fg + gf = 0[/tex]        en prenant en

considération la définition d'un projecteur et l'hypothèse        [tex]fg - gf = \alpha f + \beta g[/tex]

je trouve que        [tex]( 2 - \beta ) fg = \alpha f[/tex]         et        [tex]-( 2 + \alpha ) gf = \beta g[/tex]

En multipliant l'égalité        [tex]fg + gf = \alpha f + \beta g[/tex]        par        [tex]( 2 - \beta )( 2 + \alpha )[/tex]         On trouve

[tex]( 2 + \alpha ) \alpha f + ( 2 - \beta ) \beta g = \alpha ( 2 - \beta )( 2 + \alpha ) f + \beta ( 2 - \beta )( 2 + \alpha ) g[/tex]

Comme le système        [tex]\left \{ f , g \left \}[/tex]        est libre après résolution d'un système on trouve que        [tex]\alpha = -1[/tex]          et        [tex]\beta = 1[/tex]

[tex]\Rightarrow \,\,\, \alpha + \beta = 0[/tex]        contradiction

Donc on a toujours        [tex]\alpha + \beta = 0[/tex]

Salut G K,

Je ne sais pas si tu as pu prouver ça ? il ne me parais pas évident du tout.

J'ai trouvé une petite chose, mais je me confronte à une question de logique :

Voilà :         J'ai déjà prouvé que si        [tex]     \alpha \neq 1  \Rightarrow  [/tex]          [tex]    \alpha = -1[/tex]    et      [tex]  \beta = 1    [/tex]            [tex]     ( I )     [/tex] 

Maintenant je veux inverser les rôle de       [tex]     \alpha \,\,\, et \,\,\, \beta     [/tex]     et contenue de l'hypothèse     [tex]    gf - fg  =  -\beta g - \alpha f   [/tex]

Je peux déduire que           si          [tex]     - \beta \neq 1      [/tex]           [tex]     \Rightarrow [/tex]            [tex] - \beta = -1  \,\,\,  et \,\,\, -\alpha = 1     [/tex]

D'où                                  si          [tex]     \beta \neq -1     [/tex]        [tex]     \Rightarrow     [/tex]         [tex]     \alpha  = -1 \,\,\, et \,\,\,  \beta = 1      [/tex]         [tex]     ( II )     [/tex]

Je peux Conclure de    [tex]     ( I )     [/tex]     et   [tex]     ( II )     [/tex]      que :               [tex]     ( \alpha , \beta ) = ( -1 , 1 ) \,\,\, ou \,\,\, ( \alpha , \beta ) = ( 1 , -1 )     [/tex]

Qu'en pensez-vous ?

Ok, mes excuses Freddy, je me suis cassé la tête à faire des combinaisons bizarres pour éliminer des termes alors qu'il suffisait d'utiliser la formule initiale ^^ Bien vu !

Aïe, aïe, aïe ! C'est bien ce qui me semblait Mstafa, tu fais des bêtises avec la trace. Souviens-toi de tes cours, on a dû particulèrement insister sur le fait que la trace ne commute pas au produit ! Par contre, ce qui est vrai par exemple c'est que :
[tex]Tr(fg-gf)=Tr(fg)-\mathbf{Tr(gf)}=Tr(fg)-\mathbf{Tr(fg)}=0=\alpha Tr(f)+\beta Tr(g)[/tex]
Cette égalité te permet dans le cas [tex]\alpha+\beta=0[/tex] d'obtenir plus vite que [tex]rang(f)=rang(g)[/tex] et de conclure par ta méthode.
Il reste aussi à montrer que le cas fg+gf=0 ne peut pas se produire, par exemple en montrant qu'alors f et g commutent ce qui est incompatible avec les hypothèses.

J'ai cherché des méthodes plus élégantes pour obtenir [tex]\alpha=\pm1[/tex] (notamment avec les carrés des équations diverses obtenues), mais ta méthode par disjonction de cas est beaucoup, beaucoup plus rapide.

PS : attention à ne pas confondre nilpotent et idempotent ;-)

Salut,

dis moi si je me trompe, j'ai utilisé la propriété d'idempotence des projecteurs et l'associativié de la composition des endomorphismes, soit :

[tex]f\circ f = f\;\text{et}\;f\circ (g\circ f)=(f\circ g)\circ f [/tex]

C'est pour cela que des termes ont disparu.

Me serais je trompé ?

Salut,

bon, si je compose à droite et à gauche par f et g, j'obtiens les résultats suivants :

[tex]fg-f(gf)=\alpha f+\beta fg[/tex]

[tex]g(fg)-gf=\alpha gf+\beta g[/tex]

[tex]f(gf)-gf=\alpha f+\beta gf[/tex]

[tex]fg-g(fg)=\alpha fg+\beta g[/tex]

En sommant, on obtient :

[tex](\alpha +\beta )\times (fg+gf) = 0_E[/tex]

Donc soit [tex]\alpha +\beta  = 0[/tex] ou [tex]fg+gf = 0_E[/tex]

PS : on est d'accord que [tex]fg =f\circ g [/tex] ?

Salut !

tu voulais savoir quoi, alors ?

Re,

mon ami, que veux tu que je fasse ?

De deux choses, l'une : 

  1)  soit tu sais faire l'exo et je ne vais pas faire l'étudiant, il y a longtemps que je suis passé de l'autre côté de la barrière ;

  2) soit tu ne sais pas le faire et alors, explique moi jusqu'où t'es arrivé ?

Bonjour chez toi !