Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

N'oublions  pas  la  remarque  de  Groupoid Kid,  ayant  traduit  les  expressions  décrivant  la  fonction  à  l'aide  de  la  fonction [tex]\max[/tex]
Tu  peux, Valentin, jetter  un  coup  d'oeil à  tavers ce line pour  enrichir davantage  ta  conception et ton expérience  en  matière  de  ce  genre  de  fonctions

BOnjour,

Bonjour Valentin,

Dans  toute  rigueur , il  vaut  mieux  dire

Comme  la  fonction   [tex]h \mapsto \frac{f(a+h,a)-f(a)}{h}[/tex] n'admet pas de limite quand [tex]h[/tex] tends vers  [tex]0[/tex] (car elle  admet une  limite quand [tex]h[/tex] tends vers  [tex]0[/tex]  à droite  et une  limite quand [tex]h[/tex] tends vers  [tex]0[/tex] à gauche et celles-ci sont distinctes) , la fonction [tex]f[/tex] n'admet pas la premiére dérivée partielle au  point  [tex](a,a)[/tex]. En particulier, [tex]f[/tex] n'est pas differentiable  au  point  [tex](a,a)[/tex].

Bonjour,
Tu n'as pas profité, Valentin, des longs exposés ci-dessus..

Il est visible  (déclaré par Groupoid) que [tex]\frac{\partial f}{\partial x}(a,a)[/tex]  n'existe pas
N'oublie pas que c'est une limite  quand  h  tends  vers 0  et  utilise  les mots  clef : limite quand h tends vers 0 A DROITE ,  et  A AGUCHE
(une  limite  existe  si  les  deux  existent  et  sont  égales ...)

Bonjour,
On étudie la différentiabilité aux points A(a,a) où la fonction f est continue.
Je regarde d'abord les dérivées partielles aux points A(a,a).
[tex]\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial x}={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(\frac{f\left(a+h,a\right)-f\left(a\right)}{h}\right)={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(\frac{\left(a+h\right)\left(1-a\right)-a\left(1-a\right)}{h}\right)={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(1-a\right)=1-a,\,si\,x\leq y.[/tex]
[tex]\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial y}={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(\frac{f\left(a,a+h\right)-f\left(a,a\right)}{h}\right)={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(\frac{a\left(1-a-h\right)-a\left(1-a\right)}{h}\right)={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(-a\right)=-a,\,si\,x\leq y[/tex]
de même pour x>y, on a:
[tex]\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial x}={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(\frac{f\left(a+h,a\right)-f\left(a,a\right)}{h}\right)={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(\frac{a\left(1-a-h\right)-a\left(1-a\right)}{h}\right)={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(\frac{-ah}{h}\right)=-a[/tex]
[tex]\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial y}={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(\frac{f\left(a,a+h\right)-f\left(a,a\right)}{h}\right)=1-a[/tex]
continuité de dérivées :
[tex]pour\,x\leq y,\,\left|\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial x}-\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial x}\right|=\left|x\left(1-y\right)-\left(1-a\right)\right|=\left|x-xy-1+a\right|[/tex]
[tex]pour\,x>y,\,\left|\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial x}-\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial x}\right|=\left|y\left(1-x\right)+a\right|=\left|y-xy+a\right|[/tex]
on remarque déjà que  [tex]\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial x}\,ne\,tend\,pas\,vers\,\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial x}\,quand\,\left(x,y\right)\rightarrow \left(a,a\right)[/tex]
idem pour l'autre dérivée partielle. Donc f' n'est pas continue en (a,a).

Houuuulàlàlà ! On va reprendre doucement si tu veux bien.

D'abord, f n'est pas définie sur un intervalle, mais sur un ouvert de [tex]\mathbb{R}^2[/tex] : [tex]U=]0,1[ \times ]0,1[[/tex]. Cet ouvert n'est pas plat (1-dimensionnel), on peut l'assimiler à un disque (2-dimensionnel). Dans ton cours, on a dû bien insister sur le fait qu'entre la dimension 1 et les dimensions supérieures, les notions de continuité et de différentiabilité deviennent atrocement plus compliquées.

Ensuite, relis bien la réponse de Mohamed (du 12 mai). Il faut étudier la continuité partout dans U. Si on doit le faire point par point, ça va vite devenir fastidieux, on essaie donc autant que possible de prendre des raccourcis. C'est pourquoi Mohamed a d'abord commencé par découper l'ouvert en 3 parties : les ouverts [tex]U_1[/tex] et [tex]U_2[/tex], et le "segment" diagonal [tex]U_3[/tex].
Pourquoi ce découpage ? Eh bien dans [tex]U_1[/tex], on a [tex]f(x,y)=y-xy[/tex], c'est un polynôme donc c'est partout [tex]C^{\infty}[/tex]. Même chose dans [tex]U_2[/tex] (mis à part que le polynôme n'est plus le même : [tex]f(x,y)=x-xy[/tex]). Comme ce sont des ouverts, et que la continuité est une propriété locale (il suffit de la vérifier sur un seul voisinage pour qu'elle soit vraie en le point), on obtient que f est continue en tout point de [tex]U_1\cup U_2[/tex]. Il ne reste donc plus qu'à regarder ce qui se passe pour les points de [tex]U_3[/tex], autrement dit les points de la forme A(a,a).

Et là l'affaire se corse : on n'est pas dans [tex]\mathbb{R}[/tex] où il suffit de regarder comment qu'ça s'passe quand on arrive à gauche, et comment qu'ça s'passe quand on arrive à droite. Dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex] il y a une infinité de façons de tendre vers un point : par la droite, la gauche, le haut, le bas, en diagonale, en faisant des spirales, ou même en dansant la gigue.
Comme les points [tex]A\in U_3[/tex] ont des voisins infiniment proches dans chacun de deux ouverts [tex]U_1[/tex] et [tex]U_2[/tex], il faut tenir compte du fait qu'on ne *sait pas* comment on arrive sur notre point A, et que donc les deux formules données pour f peuvent intervenir chacune leur tour à tout moment quand on approche de A. Il faut donc faire un bidouillage à grande échelle comme celui proposé par Mohamed pour s'en sortir (réponse du 13 à 16h).

Ensuite pour la différentiabilité, retiens au moins ceci : MEME dans [tex]\mathbb{R}[/tex], ce n'est pas parce que f' existe que f est dérivable. C'est le CONTRAIRE.
Que signifie dans [tex]\mathbb{R}[/tex] d'être dérivable ? Il existe une limite gnagnagna... Bof. Une fonction f est dérivable en un point a si en ce point, il existe une droite qui est tangente à la courbe au point (a,f(a)). Mieux. De façon analytique, on demande que f puisse être approximée à l'ordre 1 au voisinage de a par une fonction affine :
[tex]f(x)=f(a)+coef\times (x-a)+o(x-a)[/tex]
Dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex], c'est cette version qui s'applique. f est dérivable au point (a,b) si on peut l'approcher au voisinage de ce point par une fonction affine :
[tex]f(x,y)=f(a,b)+L(\left[\begin{array}{c}x-a &y-b\end{array}\right])+o(x-a,y-b)\quad (*)[/tex]
Donc si tu dois monter que f est dérivable au point (a,a), il te faut trouver une fonction linéaire à 2 variables (une matrice 2x2 quoi) telle que (*) soit vraie. Bien sûr, on se sert rarement de cette définition pour montrer que quelque chose est différentiable, mais elle est utile pour montrer que quelque chose N'EST PAS différentiable (par l'absurde... cette remarque te sera utile ;-) ).

Il existe toutefois un théorème, celui que tu tentes d'appliquer :

Sauf que dans notre cas, pas de bol, ça ne marche pas. Pourquoi ? Eh bien tout simplement parce que contrairement à ce que tu dis, on n'a pas [tex]\frac{\partial f}{\partial x}=1-y,\,si\,x=y[/tex]. Ça n'est vrai que là où tu peux appliquer ta formule de dérivation, c'est-à-dire dans un ouvert, en l'occurence l'intérieur de ton ensemble [tex]U_2[/tex] (x<y). Tu ne PEUX PAS dériver le long de [tex]\{x=y\}[/tex] (du moins pas sans te justifier), parce que pour ça il faudrait pouvoir aller "un peu plus loin" que la droite [tex]\{x=y\}[/tex], autrement dit empiéter dans [tex]U_1[/tex], mais là la formule de f n'est plus la même.
Tu l'as d'ailleurs démontré à ton insu : tu as donné deux valeurs différentes de [tex]\frac{\partial f}{\partial x}(a,a)[/tex] ! ^^

Hum... Désolé pour le pavé.

EDIT : grillé par Mohamed ^^

Bonjour à tous,
Merci beaucoup MOHAMED _AIT_LH. Dans mon poste précédent, j'avais pensé que je pouvais directement étudier la continuité de f au point A(a,a), sans considérer les deux cas que tu as exposés. Visiblement, on ne le peut pas et c'est confus! Pourquoi tu as considéré le point A(a,a) pour étudier la continuité de f, puisque l'énoncé me donne juste l'intervalle où f est définie et ne me précise pas où (à quel point de l'intervalle) je dois étudier la continuité de f? Tu as levé mon doute sur la continuité, et j'ai compris. Maintenant, la différentiabilité. Quand on dit : étudier la différentiabilité de f, est-ce calculer d'abord les dérivés partielles puis étudier leurs continuités? On a:
[tex]\frac{\partial f}{\partial x}=1-y,\,si\,x\leq y.\,Et\,\frac{\partial f}{\partial x}=-y,\,si\,x>y[/tex]
[tex]\frac{\partial f}{\partial y}=-x,\,si\,x\leq y\,et\,\frac{\partial f}{\partial y}=-x\,si\,x>y[/tex]
étude de continuité de des dérivées partielles:
[tex]\left|\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial x}\right|=\left|1-y-\left(1-a\right)\right|=\left|-y+a\right|=\left|y-a\right|,\,si\,x\leq y[/tex].
si x>y, on a:
[tex]\left|\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial x}\right|=\left|-y-\left(-a\right)\right|=\left|-y+a\right|=\left|y-a\right|[/tex].
De même:
[tex]\left|\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial y}\right|=\left|-x-\left(-a\right)\right|=\left|x-a\right|,\,pour\,x\leq y.[/tex]
Pour x>y, on a:
[tex]\left|\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial y}\right|=\left|1-x-\left(1-a\right)\right|=\left|x-a\right|[/tex]
[tex]\forall x\leq y\,ou\,x>y, on\,a:\,\left|\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial x}\right|=\left|y-a\right|\,et\,\left|\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\partial f\left(a,a\right)}{\partial y}\right|=\left|x-a\right|[/tex] En passant à la limite en A(a,a), on voit bien que les dérivées partielles de f sont existent et sont continues en A(a,a).
On sait que la différentiabilité est donnée par :
[tex]df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy[/tex], c'est ici que je ne sais plus!

Salut Valentin !

Et bravo à Mohamed qui s'est plié en quatre pour tout détailler. Pour apporter ma petite pierre à l'édifice : si (comme moi) la fonction f te paraît compliquée, tu peux remarquer que [tex]\forall (x,y)\in U,\ f(x,y)=\min(x,y)-xy[/tex]. Et puisque la fonction "produit" est [tex]C^{\infty}[/tex], étudier la continuité et la dérivabilité de f revient à étudier celle du min.
Je ne suis pas en train de dire que ça rend le problème évident, hein, juste que ça permet de manipuler une fonction moins compliquée ;-) C'est d'ailleurs un bon exercice pour vérifier si tu as compris les explications qui précèdent : essayer de le refaire pour la fonction min. Ça peut aussi te permettre d'intuiter la réponse pour la différentiabilité.

Bon courage,
GK

Bonjour MOHAMED _AIT_LH,
En effet, (0,1) n'est pas défini sur l'ensemble de définition, et c'est pourquoi je me demande où je dois étudier la continuité de f.
D'après toi, je prends  [tex]a\in U[/tex] et j'étudie la continuité en ce point!
[tex]\left|f\left(x,y\right)-f\left(a,a\right)\right|=\left|x\left(1-y\right)-y\left(1-x\right)-(a\left(1-a\right)-\left(a\left(1-a\right))\right)\right|=\left|x\left(1-y\right)-y\left(1-x\right)\right|=\left|x-y\right|\rightarrow 0[/tex] quand (x,y) tend vers a. Donc f est continue en a. Est-ce que c'est juste?
Valentin