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Cracky · 17-05-2011 15:51:18

Merci je pense avoir compris :)

MOHAMED_AIT_LH · 13-05-2011 17:24:49

Bonjour,

Généralement, si [tex]f : E \to F[/tex] est une application linéaire et si [tex]G[/tex] est le sous-espace vectoriel de [tex]E[/tex] engendré par les vecteurs [tex]u_1,...,u_k[/tex] (avec [tex]k \in {\mathbb N}^*[/tex]), alors [tex]f(G)[/tex] est exactement le sous-espace vectoriel de [tex]F[/tex] engendré par les vecteurs [tex]f(u_1),..., f(u_k))[/tex].
Si [tex](u_1,...,u_k)[/tex] est une base de [tex]G[/tex] et si [tex]f[/tex] est INJECTIVE alors [tex](f(u_1),...,f(u_k))[/tex] est une base de [tex]f(G)[/tex].

Dans le cas de ta question , il s'agit d'un isomorphisme, alors tu calcule les iamges des vecteurs de la base du sous-espace en question et tu obtient une base de son image.

Cracky · 13-05-2011 16:14:07

Salut. Merci pour ta réponse je ne vois toujours pas quels sont images de f ? c'est (f(e1)-f(e3) et f(e2)-f(e3) ?

Car la en faite on a plutot trouver des bases des sev la non ? a savoir ((1,0,-1),(0,1,-1) pour F et (1,1,1) pour G ?

Comme j dis cette notion d'image de f est un peu flou pour moi, alors que trouver une image de matrice la je comprend mieux.

freddy · 12-05-2011 22:15:01

Salut,

parfait pour le 1) !

Pour le 2), on fait comme suit : si le vecteur u est élément de F, alors [tex]u=xe_1+ye_2+(-x-y)e_3[/tex]

Donc [tex]f(u)=x\times \left(f(e_1)-f(e_3)\right)+y\times \left(f(e_2)-f(e_3)\right)[/tex] Je pense que tu peux finir ...

Idem et plus simple pour le sev G, puisque l'élément v de G s'écrit [tex]v=x\times (e_1+e_2+e_3)[/tex] ...

Cracky · 12-05-2011 21:11:54

Bonsoir a tous. Ceci est mon premier message :)

Voici l'ennoncer de l'exercice.

"Soit E=(e1,e2,e3) la base canonique de R^3 et f l'endomorphisme de R^3 définie par :

f(e1)=e2+e3
f(e2)=e3+e1
f(e3)=e1+e2

1) Montrer que f est un automorphisme de R^3

Bon alors la j'ai montré que kerf={0} donc f injective, surjective en appliquant le theoreme du rang. Donc elle est bijective et vu que f est un endomorphisme c'est un automorphisme.

Je pense que la j'ai juste corrigé moi si je me trompe !

2)Determiner les images par f des sous espaces vectoriels

F={(x,y,z)/x+y+z=0) et G={(x,y,z)/x=y=z}

Je ne vois pas vraiment comment m'y prendre. j'ai globalement du mal avec les imf ou quand il faut trouver une base de Imf alors que pour ker c'est très simple.

Merci d'avance de me mettre sur la voie :)

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