Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour.
On demande de donner "LE linéarisé" au point a(0,-1,1) de la fonction f(x,y,z) = (cos(x) +z/y , x+ln(z), x²-y+2, x+y+z)
(nb a(0,-1,1) est un vecteur)
Je ne comprends pas la question. Je ne sais pas ce qu'est  "le linéarisé" .
quelqu'un peut-il me donner une définition ?

Hello Chipp

L'exemple chiffré t'a déjà été donné par Hadrien, mais vu ta réaction je suppose que tu ne dois pas bien connnaître les développements limités mentionnés par Freddy.

En considérant la variable 2D [tex]X:=\left[\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right][/tex], tu peux voir ton équation sous cette forme :
[tex]\dot{X}=f(X),\quad \text{avec }f(X)=f(x,y)=\left[\begin{array}{l}7{x}^{2}-2y+1 \\ -x{y}^{1/2}+2{x}^{3}\end{array} \right][/tex]

Les équations qu'on sait bien résoudre, ce sont celles où la fonction f est linéaire. Quand on a une équation non linéaire comme ici, on peut essayer d''approximer [tex]\dot{X}=f(X)[/tex] par [tex]\dot{X}=L(X)[/tex] où L(X) est la fonction dont tu parles. (Note : cette opération n'est intéressante qu'au voisinage des points [tex]a=X_0=(x_0,y_0)[/tex] où f s'annule). La fonction L est le développement limité à l'ordre 1 de la fonction f.

Le calcul qu'a fait Hadrien était le développement limité de la composante en x de f ([tex]f_1(x,y)[/tex]) : à proximité de [tex]a=(x_0,y_0)[/tex], on écrit [tex](x,y)=(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)[/tex] de sorte que [tex]X-a=(\Delta x,\Delta y)[/tex]. On obtient alors :

[tex]f_1(x,y)=f_1(a)+Df_1(a)\cdot(X-a)+o(X-a)=(1 + 7 x_0^2 - 2 y_0) + 14 x_0 \Delta x + \Delta y + o(\Delta x, \Delta y)[/tex]

Pour linéariser on fait comme si le petit o était nul. Il ne te reste plus qu'à faire de même chose pour la seconde composante de f.

Re,

c'est amusant, je suis bien arrivé à le lire ... Privilège de l'expérience, peut-être ?!

Dors bien !

Re,

@thadrien : le point sur une variable est la notation classique et standard d'une dérivée première par rapport au temps dans les publications anglo saxonnes.

Donc il n'y a pas d'erreur, car c'est le sens de "système dynamique" aussi bien en physique qu'en analyse économique et en finance (comme en calcul stochastique) : l'introduction du temps.

Bien à toi,

Freddy

Re,

et pourtant, la réponse de thadrien est parfaite et dit ce que tu sous entends dans ta question initiale : "linéariser" revient à "faire tomber" les degrés pour se ramener un un polynôme de degré 1. Et pour ce faire, il faut utiliser la technique des développements limités au voisinage d'un point,  que tu arrêtes à l'ordre 1.

Tu vois mieux ?

Salut,

Linéariser consiste à supposer de faibles variations de [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] autour de [tex]x_0[/tex] et [tex]x_0[/tex], et donc à utiliser les formules de Taylor pour approximer l'équation différentielle par une équation linéaire et ainsi pouvoir la résoudre.

Va voir ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Taylor et ici : http://serge.mehl.free.fr/chrono/Taylor.html

Ici, cela donnerait quelque chose du genre :

[tex]x = x_0 + \Delta x[/tex]
[tex]y = y_0 + \Delta y[/tex]

[tex]x_0 + \Delta x = 7 (x_0 + \Delta x)^2 - 2 (y_0 + \Delta y) + 1 = 7 x_0^2 + 14 x_0 \Delta x + o(\Delta x) - 2 y_0 + \Delta y + 1 = (1 + 7 x_0^2 - 2 y_0) + 14 x_0 \Delta x + \Delta y + o(\Delta x) + o(\Delta y)[/tex]

Je te laisse traiter l'autre équation selon le même procédé. On obtient ainsi un système affine que l'on peut ensuite résoudre par les méthodes usuelles pour obtenir une approximation de la solution pour de faibles variations.

Re,

tu as des exemples ?