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ou juste calculer le determinant c est plus facile ^^

Alors apres une bonne nuit de sommeil et un regard concentré ce matin je pense avoir compris tout ce que tu as dit

pour determiner un SE engendré on pose un systeme que l on resoud et des que a la valeur theorique de chaque variable, a t on le droit d attribuer des valeurs quelconques a x,y et z ?
ou doit t on faire autrement.
concernant la base orthogonale j ai compris c est juste l application de la formule que tu m as enoncée j avais pas trop fait attention.
quand on trouve une base, est ce synonyme de projetté orthogonal?

Merci pour tes explications vraiment tu les fais d une maniere si simple a comprendre t es un as ^_^.

c'est la définition du produit vectoriel

Bonsoir:

Pour mémoriser le lien entre le determinant et l liberté,  une vision géométrique serait peit être utile :
Considérons [tex]4[/tex] points [tex]A,B,C[/tex] et [tex]D[/tex].
Le determinant de la famille de vecteurs [tex](\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})[/tex] est le volume (algébrique) de paralléllépipède rectangle construit à partir des points [tex]A,B,C[/tex]  et  [tex]D[/tex]

On  observe  que  ce  volume  est  nul  uniquement quand  ces  points  sont  dans  un  même plan, ce qui revient à dire que les vecteurs [tex]\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}[/tex] sont  linéairement dépendants.

Dans le cas contraire (les points  ne  sont  pas  coplanaires)  il  est  impossible d'écrire le  vecteur [tex]\vac{AD}[/tex]  sous  la  forme : [tex]x \vec{AB} + y \vec{AC} [/tex]  (essye  de  voir ça).

Pour  résumer :

Une  famille  de  vcteurs [tex](u,v,w)[/tex] de  [tex]{\mathbb R}^3[/tex]  est  liée  si  et  seulement si [tex]\det(u,v,w)=0[/tex]

(Bien  netendu le  determiant  ici  veut  dire celui  de  la  matrice  dont les  colonnes  sont  les  cordonnées de ces  vecteurs respectivement relativement à la  base  canonique)

Orthogonalité

Deux   vecteurs  [tex]u=(x,y,z)[/tex]   et  [tex]v=(x',y',z')[/tex]  sont  orthogonaux  si  [tex] xx'+yy'+zz'=0[/tex]

La  quantité  [tex]xx'+yy'+zz' = \langle u,v \rangle [/tex]  s'appelle le  produit  scalaire  des  vecteurs  [tex]u[/tex]   et   [tex]v[/tex].

si deux vecteur sont orthogonaux alors leur produit scalaire est nul .
par exemple :

tu as le vecteur [tex]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3  \end{pmatrix} [/tex]
tu cherche un vecteur [tex]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z  \end{pmatrix} [/tex]
tel que [tex]( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3  \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x \\ y \\ z  \end{pmatrix} ) = 0[/tex]
tu as donc [tex]x+2y+3z=0[/tex] il existe une infinitié de vecteur vérifiant cette équation ( 1équation a 3 inconnues )
par exemple le vecteur[tex] \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0  \end{pmatrix} [/tex]ou encore [tex] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1  \end{pmatrix} [/tex]

calcule le pour vérifier que ça fait bien 0 .

on choisit [tex] \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0  \end{pmatrix} [/tex] et on calcule [tex]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3  \end{pmatrix} \land  \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 2*0-3*(-1) \\ 3*2-0*1 \\ 1*(-1)-2*2)  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -5  \end{pmatrix}[/tex]

le vecteur obtenu est orthogonal aux autres, tu peux le vérifier en calculant les produits scalaires deux à deux, tu dois toujours trouver 0

bonsoir

une famille de vecteur (les colonnes de la matrice A) est libre si ils ne sont pas colinéaire et donc s'ils forment une base donc det(A) =\= 0, si det (A) = 0, A n'est pas inversible et on a deux cas possible à ce niveau :
                        - A contient un vecteur nul donc la famille est liée
                        - il existe un vecteur de A qui est combinaison linéaire des autres
exemple 1 :
               [tex]   A =  \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}   [/tex]

det(A) = 0 et on remarque que la somme du premier vecteur et du deuxième vecteur forme le 3 eme vecteur
de A

géométriquement dans [tex] R^3 [/tex] tu peux voir que les deux premiers vecteurs "caractérisent"  un espace de dimension 2 ( un plan ) dans [tex] R^3 [/tex] et que leur somme forme un vecteur qui est toujours dans le plan,
c'est à dire en gros qu'il "ne porte pas la 3eme dimension de [tex] R^3 [/tex] "

exemple 2

                [tex]   B =  \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}   [/tex]

la on voit facilement que det(B) = 0

de même les deux premier vecteur forme une base de  [tex] R^2 [/tex] sauf que le 3 eme vecteur est le vecteur nul .

et donc en gros la dimension de l'espace engendré  est égale au rang de la matrice, si les vecteurs forment une famille libre, alors la taille de la matrice est égal au rang de la matrice,sinon le rang est inférieur. Dans notre exemple le rang de la matrice est 2 donc la famille est liée .
un simple pivot de gauss permet de connaitre le rang de la matrice , le nombre de lignes où il n'y a pas que des 0 donne le rang,

pour trouver une base orthogonal il suffit de trouver une famille de vecteurs (x1,x2,.....,xn)
tel que le produit scalaire (xi,xj)=0
dans  [tex]  R^3   [/tex]
si on a un vecteur [tex] ^t (a,b,c) [/tex] alors il faut un vecteur [tex] (x,y,z) [/tex] différent du vecteur nul qui vérifie
[tex] ax+by+cz=0[/tex]
[tex] (x,y,z) [/tex] n'est pas unique
ensuite pour trouver le 3eme vecteur il suffit de le calculer a l'aide du produit vectoriel

[tex] \begin{pmatrix} a  \\ b \\ c \end{pmatrix} \land \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}bz-cy  \\ cx-az \\ ay-bx \end{pmatrix} [/tex] qui sera orthogonal aux deux autres .