Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir à toi.

Si tu passes un peu plus de 5 minutes à relire attentivement la réponse de thadrien, tu te rendras compte que ce que tu avances est manifestement faux. La condition pour annuler u, c'est d'être un multiple du polynôme *minimal*, et non caractéristique.

Pour te mettre les points sur les i, voici un contre-exemple évident avec l'identité. Je te laisse vérifier que P=(X-1)(X-2)....(X-n) est un polynome annulateur de degré n de l'identité, et pourtant il n'a rien à voir avec son polynôme caractéristique. En fait tout multiple de X-1 annulera l'identité, et en degré n tu trouveras pléthore de tels multiples.

Désolé de ne pas me montrer indulgent, mais l'intervention de Yoshi et ta réponse irréfléchie m'ont hérissé le poil >:@

Salut,

La réponse est NON. Mais ce n'est pas si évident. Pour t'en convaincre, quelques points :

1/ Par définition, il y a un et un seul polynôme caractéristique, mais plusieurs polynômes annulateurs différents. Comment donc "tout polynôme annulateur de u de degré n [pourrait être] le polynôme caractéristique de u" ?

2/ Soit P un polynôme annulateur de u. Soit Q un polynôme quelconque. PQ est aussi un polynôme annulateur de u. Donc, il y a plusieurs polynômes annulateurs de u différents.

Maintenant, récapitulons ce qui est vrai :

1/ Le polynôme caractéristique de u est aussi un (et non pas le) polynôme annulateur. C'est le théorème de Cayley-Hamilton.

2/ Le polynôme caractéristique est unique, par définition.

3/ Il existe un polynôme annulateur de u de degré minimal, appelé polynôme minimal.

4/ Le polynôme minimal de u divise tout polynôme annulateur de u. En particulier, il divise le polynôme caractéristique.