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Bonsoir à toi

Je suppose que ton produit scalaire n'est pas le produit usuel, sinon ta question n'a pas de sens (la base canonique serait alors nécessairement orthonormée). Je vais noter [tex]\phi[/tex] ton produit scalaire.

Il suffit de revenir à la définition d'endomorphisme symétrique. Notons [tex]M=\big[\phi(b_i|b_j)\big]_{1\leqslant i,j\leqslant n}[/tex] la matrice de [tex]\phi[/tex] dans [tex]b[/tex]. Dire que [tex]f[/tex] est [tex]\phi[/tex]-symétrique signifie :
[tex]\forall\ x,y\in \mathbb{R}^n,\ \phi(fx,y)=\phi(x,fy)[/tex]

Matriciellement, celà signifie :
[tex]\forall\ X,Y\in M_{n1}(\mathbb{R}),\ (AX)^*MY=X^*A^*MY=X^*M(AY)[/tex]
et donc : [tex]A^*M=MA[/tex]

La condition pour que [tex]f[/tex] soit symétrique pour [tex]\phi[/tex] n'a donc rien à voir avec le fait que [tex]A[/tex] soit symétrique dans [tex]b[/tex]. Si [tex]b[/tex] est [tex]\phi[/tex]-orthonormée, alors [tex]M=I[/tex] et tu retombes sur tes pattes.

Réponse : si [tex]b[/tex] n'est pas orthonormée, alors c'est cui-cuit.