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Salut Michael !

Il semble qu'on t'aie un peu oublié, je vais tâcher de répondre à tes interrogations, mais ce que tu demandes recouvre un champ assez large dans les mathématiques.

Tout d'abord, parlons des intégrales "complexes". Il y a ici deux choses à prendre en compte : pour utiliser le théorème des résidus, il faut savoir :
1) intégrer une fonction à valeurs dans [tex]\mathbb{C}[/tex],
2) intégrer une fonction le long d'une courbe
qui sont deux choses bien différentes.

Tout d'abord, intégrer une fonction [tex]\mathbb{R}\to\mathbb{C}[/tex]. C'est en fait à peine plus compliqué qu'une fonction à valeurs dans [tex]\mathbb{R}[/tex]. Comment fait-on dans [tex]\mathbb{R}[/tex] ? On calcule séparément l'aire "au-dessus de l'axe des abscisses", l'aire "en-dessous", et on fait la différence des deux. On se base sur la notion d'aire, et par conséquent on est forcés de n'utiliser que des fonctions positives dans la définition de l'intégrale. Dans [tex]\mathbb{C}[/tex] on fait la même chose, mais en découpant la fonction en 4 : on découpe d'abord suivant les parties réelles et imaginaires, puis entre les parties positives et négatives de ces fonctions. On pose alors :
[tex]\int_x^y f(t)dt = \int_x^y Re(f)^+(t)dt\ - \int_x^y Re(f)^-(t)dt\ +\ i\!\!\int_x^y Im(f)^+(t)dt\ -\ i\!\!\int_x^y Im(f)^-(t)dt[/tex]
On montre alors que les théorèmes qui fonctionnaient dans [tex]\mathbb{R}[/tex] marchent encore dans [tex]\mathbb{C}[/tex], tu peux donc faire comme d'habitude.

Pour les intégrales de contour, c'est différent : on dispose d'une fonction de [tex]\mathbb{C}\to\mathbb{C}[/tex], et on souhaite l'intégrer le long d'une courbe. On met alors au point une méthode d'intégration via des paramétrisations de la courbe [tex]t\to\gamma(t)[/tex], et on montre que ça ne dépend pas de la paramétrisation :
[tex]\int_{\gamma} f(z)dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)dt[/tex]

Avant d'utiliser le théorème des résidus, il faudra d'abord apprendre à développer des fonctions en série de Laurent, une forme super méga évoluée du développement de Taylor. Toutefois, si tu connais les fractions rationnelles et la décomposition en élément simples, certaines techniques que tu utilises pour trouver les coefficients des pôles simples peuvent t'aider à trouver les résidus...

J'avais prévenu que ce ne serait pas simple ^^ J'espère que ça pourra t'aider.

Cordialement,
GK

apparemment, j'ai oublié de mentionner que je bloquais sur le calcul de  [tex]\int_0^{+\infty}\,e^{ix^2}\,dx[/tex].
le doc pdf que j'ai pu avoir à ce propos m'indique que je dois utiliser ce que Fred a dit, chose que je ne comprend pas, mais que je voudrais comprendre...

Bonjour,

Voir aussi la page Wikipedia anglophone : http://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_integral

Hadrien.

Bonsoir,

Comme ça, le calcul ne me parait pas simple... je vois deux pistes (il y a peut être une méthode plus directe mais je ne vois pas) :
1- Tu développes [tex]cos(x^2)[/tex] en série entière et tu calcules l'intégrale de chaque terme, tu justifies que tu peux intervertir intégrale et somme... et j'espère que tu ne tombes pas sur une formule trop moche...
2- Tu utilises le fait que [tex]cos(x^2)[/tex] est la partie réelle de [tex]e^{ix^2}[/tex] et tu calcules l'intégrale de [tex]e^{ix^2}[/tex] en utilisant le théorème des résidus...
Je ne l'ai pas fait mais je pense que c'est "faisable" (même si la première méthode ne dois pas te donner la solution de Freddy explicitement).

Roro.

Salut,

voilà la travail en Latex : [tex]\int_0^{+\infty} \cos(2x^2)\,dx=\frac{\sqrt\pi}{4}[/tex]