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Arf, flûte, je croyais que tu avais trouvé :-/

Je n'avais pas pensé au fait que le signe négatif peut permettre aux sous-orthogonaux d'être du même côté de l'hyperplan... mais ici c'est exclu ! Il y a un souci dans ton exemple : P n'est pas inclus dans le cône positif de Y (forcément puisque ton Y n'a PAS de cône positif ^^). Et évidemment, si on prend -Y ça ne marche plus, puisque la condition de sous-orthogonalité est alors perdue.

Il est impératif que Y ait un (gros) cône positif, et que les vecteurs de base soient dedans ou lui soient tangents (i.e. contenus dans le cône isotrope).

Ok, je vois ^^ As-tu au moins essayé de regarder les exemples que je t'ai donnés ?

Analysons ensemble l'énoncé. On a un ev muni d'une forme quadratique. C'est l'objet le plus compliqué de l'énoncé, donc on se met en bonnes conditions pour le simplifier : d'après la réduction de Gauss (ou l'inertie de Sylvester, c'est pareil), il existe une base [tex](e_1,\ldots,e_n)[/tex] de E dans laquelle Y est une somme de carrés (munis de signes) :
[tex]Y(u_1,\ldots,u_n) = -u_1^2 - \ldots - u_p^2 + u_{p+1}^2 + u_{p+q}^2 + 0[/tex]
où n = p+q+k, avec k la dimension du noyau de Y. Là-dessus on nous donne une autre base de E, qui elle peut être disposée n'importe comment par rapport à Y, mis à part la "condition bizarre". Dans [tex]\mathbb{R}^n[/tex] muni de Y = produit scalaire standard, cette condition dit que les vecteurs de la base [tex](v_1,\ldots,v_n)[/tex] forment tous des angles obtus, comme par exemple les branches d'une molécule d'eau en dimension 2, ou celles d'une molécule d'ammoniac en dimension 3.

On se sert de cette base bizarre pour générer un certain polytope P, i.e. un polygone généralisé (avec des faces, des arrêtes, etc, mais ici un seul sommet : 0). En dimension 2 c'est un "quart de plan" ([tex]\{x_1\geq 0, x_2\geq 0\}[/tex]), en dim 3 un "huitième d'espace", etc. On nous dit alors que Y est partout positive sur P, autrement dit que P est inclus dans le cône positif de Y (ce qui restreint nettement les possibilités).

Ensuite la question : on coupe P suivant le noyau K de Y. On obtient une certaine figure dans K qui est elle aussi un "polygone généralisé", que j'ai appelé Q. On te demande de montrer que les éléments de Q engendrent l'espace K tout entier.

On prend donc un élément x quelconque dans K\Q, le but du jeu est de montrer qu'il est combinaison linéaire des éléments de Q.

C'est là que plusieurs méthodes se présentent, algébriques ou/et topologiques... et c'est là que je t'ai demandé dans quel contexte tu as eu cette question : est-ce un problème d'examen, un exercice ? quel est le titre du chapitre, quels théorèmes as-tu étudiés ? Si c'est de la géométrie projective ou algébrique, ça change grandement l'angle d'attaque !

Salut Picatshou

Tu devrais déjà commencer par t'aider toi-même en écrivant un énoncé clair et sans fautes ;-) Il m'a bien fallu 10 minutes pour te déchiffrer !

Pour la première question, je te répondrai par ceci: quelle est la définition de la dimension d'un espace vectoriel ?

Pour la seconde, j'y ai passé un bon moment et je sèche également. C'est probablement une astuce bête, mais comme j'ignore ton niveau et le contexte du problème, je n'ai aucune idée de comment l'attaquer (calcul matriciel, polytope dual, Hahn-Banach, classification des formes quadratiques, réduction d'un K[X]-module, que sais-je). Tu travailles bien dans [tex]\mathbb{R}[/tex] ?

On va déjà simplifier ton énoncé, en enlevant cette base duale qui nous complique la vie. (Je soupçonne qu'elle ait une très bonne raison pour être là, mais passons). On reprend :
1- [tex]E[/tex] est un espace vectoriel de base [tex](v_1,\ldots,v_n)[/tex]
2- [tex]P[/tex] est son quadran positif : [tex]P=\{\Sigma_i x_i v_i\ /\ \forall i,\ x_i\geq 0\}[/tex]
3- [tex]Y:E\to\mathbb{R}[/tex] est une forme quadratique sur [tex]E[/tex], de polaire [tex]w:E^2\to\mathbb{R}[/tex]
(tiens, question au passage: la polaire c'est pas plutôt [tex]E\to E^*[/tex] ? Je suis un peu rouillé)
4- Elle est positive partout dans [tex]P[/tex]
5- Elle vérifie une relation bizarre : [tex]\forall i \neq j,\ w(v_i,v_j)\leq 0[/tex]
Ah bin déjà on a de bons exemples de ça à disposition : [tex]\mathbb{R}^n[/tex] avec sa base et sa forme euclidienne canoniques ^^ Avec la forme [tex]Y=0[/tex] ça marche aussi, et déjà c'est plus fin. (Il me semble que tous les autres exemples découlent de ceux-ci, choix de la base mis à part)

Je suppose que par "ker Y", tu désignes bien le noyau de la forme quadratique, et pas son cône isotrope ? Ça change grandement la question, mais je crois qu'avec le cône il y a des contre-exemples.

Inutile de le supposer, je t'en donne un si tu veux : 0 est dans l'intersection, mais ça ne nous avance guère O_o On te demande précisément de montrer quelque chose pour les éléments qui ne sont PAS dans l'intersection : il s'agit de montrer que les éléments de [tex]Ker(Y)\setminus P[/tex] sont combinaisons linéaires de ceux de [tex]Ker(Y)\cap P[/tex].

Autrement dit tu viens de montrer que le noyau de [tex]Y[/tex] est engendré par [tex]x[/tex] tout seul, donc est de dimension maximale 1. Or le cas de [tex]Y=0[/tex] montre que ce n'est pas vrai en général. En fait tu ne t'en sortiras pas uniquement avec des multiples, il faudra impérativement faire des combinaisons linéaires : encore une fois, c'est le cas dans l'exemple [tex]Y=0[/tex].

Pour les experts, si vous avez trouvé un exemple de telle configuration avec une f.q. non positive je suis preneur. Je n'ai regardé qu'en basse dimension avec la classification complète, et à chaque fois les formes non positives n'admettent pas de telles données (base qui/que + polytope inclus dans le cône positif).

Appelons [tex]K=Ker(Y)[/tex] et notons [tex]k[/tex] sa dimension. Le polytope [tex]P[/tex] est une intersection de demi-espaces, e.g. les [tex]\{v^*_i\geq 0\}[/tex]. Son intersection avec le sous-espace [tex]K[/tex] est donc un polytope obtenu à l'aide des équations induites. C'est ici que je sèche : je n'arrive pas à obtenir une forme simple des équations de frontière du polytope induit [tex]Q=P\cap K[/tex], ni à utiliser la "condition bizarre" autrement que sur les dessins.

La piste que j'ai suivie était : il y a [tex]n[/tex] équations définissant [tex]Q[/tex], mais [tex]K^*[/tex] n'est que de dimension [tex]k[/tex]. J'ai tenté des jeux de dualité/prédualité, mais ça n'a rien donné.

Dis-moi déjà si tu comprends ce que je dis et ce que tu as tenté d'autre, et on verra pour la suite ^^