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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Fred
- 06-02-2011 22:51:31
Salut,
Ne t'excuse pas pour la longueur de ton post, c'est au contraire très bien d'avoir quelque chose d'aussi précis...
Voici comment on peut faire pour le c).
Je partirais plutôt de :
[tex](u_V-3Id_V)\circ (u_V+2Id_V)=0[/tex] identité que tu as obtenu à la question précédente.
Tu peux en déduire que [tex]Im(u_V+2Id_V)\subset\ker(u_V-3Id_V)[/tex] et que [tex]Im(u_V-3Id_V)\subset\ker(u_V+2Id_V).[/tex]
Ainsi, il suffit d'écrire tout vecteur de V comme somme d'un élément de [tex]Im(u_V+2Id_V)[/tex] et de[tex]Im(u_V-3Id_V)[/tex] et cela, ce n'est pas trop dur.
Tu peux utiliser par exemple que :
[tex]Id_V=-\frac15(u_V-3Id_V)+\frac 15(u_V+2Id_V)[/tex]
d) En gros, il faut faire pareil.
Tu écris que :
[tex]24Id=(u-3Id)^2-(u+2Id)^2+7(u+2Id)[/tex]
(Attention! j'ai peut-être fait des erreurs de calcul!), d'où tout x de E s'écrit :
[tex]x=y+z[/tex]
avec
[tex]y=(u-3Id)^2(x/24)\in\ker(u+2Id)[/tex]
et
[tex]z=(u+2id)(z_1)\in\ker(u-3Id)^2[/tex]
avec
[tex]z_1=\frac7{24}x-\frac1{24}(u+2Id)x[/tex]
Les projecteurs, tu les as déjà :
La projection sur [tex]\ker(u+2Id)[/tex], c'est l'application qui à x associe y,
c'est-à-dire :
[tex]x\mapsto (u-3Id)^2(x/24)[/tex].
Fred.
- undefined
- 06-02-2011 17:52:37
Salut, j'ai besoin d'aide pour les questions suivantes :
Comme données j'ai que (u-3Ide)^2o(u+2Ide) =0 (où u est un endomorphisme d'un espace vectoriel réel E)
a) Soit V l'image de (u-3Ide). Vérifier que V est stable pour u. On note u_v (u indice v) l'endomorphisme de V déduit de u.
j'ai traité cette question sans difficulté.
b) justifier que u_v^2 est une combinaison linéaire de Idv et u_v.
Pour celà j'ai modifier l'égalité de départ pour la mettre sous la forme : (u-3Ide)o(u+2Ide)o(u-3Ide)=0.
ce qui permet de voir que V est inclus dans le noyau de (u-3Ide)o(u+2Ide).
ainsi j'obtiens que pour tout vecteur x de V (u-3Ide)o(u+2Ide)(x)=0e
D'où en développant u^2(x)= 6Ide(x) + u(x).
D'où u_v^2= 6Idv + u_v.
c)En déduire que le noyau de u_v - 3Idv et celui de u_v + 2Idv sont des sous-espaces supplémentaires de V.
J'ai réussi à montrer que la somme des deux sous-ev était directe mais je n'arrive pas à exprimer tout élément de V comme somme d'un élément du noyau de u_v - 3Idv et d'un de celui de u_v + 2Idv.
J'ai pensé à me servir de l'égalité de la question précédente en écrivant : Idv = 1/6(u_v^2-u_v)
mais je n'aboutit pas :/.
d)Démontrer que le noyau de (u-3Ide)² et celui de u+2Ide sont supplémentaires (relativement à E).Calculer les projecteurs que définit cette décomposition de E
j'ai montré que la somme était directe mais je n'arrive pas à exprimer tout élément de E comme somme d'un élément de chacun des deux sous-ev, ni à calculer les projecteurs.
Voilà, je m'excuse de la longueur de mon post et merci d'avance pour vos réponses. Je voudrais aussi comprendre la méthode à utiliser pour calculer des projecteurs.