Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

Bonsoir Picatshou  et je  t'en  prie !
Commençons par la dernière question
Soit [tex]E[/tex]  un [tex]\mathbb K[/tex]   espace  vectoriel rapporté  à  deux bases  [tex]B[/tex]   et  [tex]B'[/tex]
Soit  [tex]q[/tex]    une  forme quadratique  sur  [tex]E[/tex]   dont  [tex]A[/tex]   et  [tex]A'[/tex]    sont  les  matrices  respectives dans les base [tex]B[/tex]  et  [tex]B'.[/tex]
Soit  [tex]x \in E[/tex]   tel  que   [tex]x(X)_{B}[/tex]   et [tex]x(X')_{B'}[/tex]
On  a   alors   :   [tex]q(x)=^t X A X = ^t X' A' X'[/tex]
Si  [tex]P[/tex]  est  la  matrice  de  passage  de   [tex]B[/tex]   à  [tex]B'[/tex]   alors  [tex]X=PX'[/tex]   de  sorte  que  : [tex]q(x)=^tX'^tP A PX'[/tex]  et comme  c'est  vrai  pour  tout  [tex]x \in E,[/tex]  on  a   : [tex]A' = ^tPAP[/tex]
C'est  la  formule  qui  traduit  l'effet  d'un  changment  de  base sur  l'expression  d'une  forme quadratique...

Exemple:
[tex]E= {\mathbb R}^2[/tex].
Pour   [tex]x=(x_1,x_2)[/tex]   et   [tex]q(x)=x_1x_2[/tex]
On  a :

[tex]x_1x_2 = \frac{1}{4} ((x_1+x_2)^2-(x_1-x_2)^2)[/tex]
donc

q(x)= X_1^2-X_1^2   avec    [tex]\left(\begin{array}{c}X_1\\X_2 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc}\frac 12& \frac 12\\ \frac 12& -\frac 12\end{array} \right) \left(\begin{array}{c}x_1\\x_2 \end{array} \right)[/tex]

on  a  [tex]x=(x_1,x_2)=x_1 e_1 +x_2 e_2[/tex]   avec  [tex]e_1=(1,0)[/tex]  et  [tex]e_2=(0,1)[/tex]
on  a
[tex]x= X_1 \omega_1 + X_2 \omega_2[/tex]   avec   [tex]\omega_1= e_1+e_2[/tex]  et  [tex]\omega_2 = e_1-e_2[/tex]

Tu  peux  ainsi  poser [tex]B=(e_1,e_2)[/tex]   et  [tex]B'=(\omega_1,\omega_2)[/tex]  et   exprimer  la  matrice  de  passage  de  la  premiére à  la seconde  base    et  verifier  les  formules  générales ci-dessus ...

Sauf  erreur  bien  entendu !!

Pour l'isomorphisme , si  on  te  demande  de  prouver  que  la  matrice [tex]I[/tex]  est  un  vecteur propre de la  matrice  [tex]A[/tex], il n'y a rien à  démontrer concernant cet isomorphisme car c'est déjà sous-entendu ...
(c'est mon avis ...  et  si j'avais  l'énoncé complet ce serait  mieux ... pour  pouvoir  en  juger  ...)

Bonsoir (C'est tard ...mais c'est à cause d'un travail que je viens d'achever)

Bonsoir Picatshou,

Tu  a  désiré  avoir  [tex](1)  \quad  f(I,I)=a I[/tex]

Tu  sais  bien  qu'une  forme  bilinéaire est  défininie de [tex]E \times E[/tex]  vers  [tex]{\mathbb K}.[/tex]
Il   en  résulte que   [tex]f(I,I)[/tex]  est  un  scalaire et  pas  une  matrice carrée de taille  [tex]2.[/tex]

Même  si  tu  avais  la  relation (1),  elle   ne  traduit en  aucun  cas que  [tex]I[/tex] est  un  vecteur  propre  de la matrice   [tex]A[/tex]

Une  matrice  en général  est  un  vecteur car  la  définition d'un  vecteur c'est l'élément d'un espace  vectoriel.
On  sait  que  [tex]({\mathcal M}_{n,p} ({\mathbb K}) ,+ , .)[/tex]  (operations connues)  est un  [tex]\mathbb K-[/tex]  espace  vectoriel de  dimension  [tex]np[/tex].

En  particulire pour  [tex]n=p=2[/tex]   on a   une  dimension  égale  à [tex]4[/tex] :  c'est  le  cas  de ton exemple ...

On n'a pas  l'énoncé de ton exercice  mais  il  semble  qu'il y'a une identification  de  [tex]{\mathcal M}_2({\mathbb R})[/tex]   avec  [tex]{\mathcal M}_{4,1}({\mathbb R})[/tex] via  l'isomorphisme :[tex]\begin{array}{ccccc}\Psi &:&{\mathcal M}_{2}({\mathbb R})&\to& {\mathcal M}_{4,1}({\mathbb R})\\&&\left(\begin{array}{cc}a&c\\b&d \end{array} \right) &\mapsto&\left(\begin{array}{c}a&c&b&d \end{array} \right) \end{array}[/tex]
ce  qui  permet  de considérer les  vecteurs  propres éventuels de [tex]A[/tex] comme  des  matrices  carrées  de  taille  [tex]2[/tex] ....

Bonsoir;

Puisque tu travailles  dans le  [tex]\mathbb R-[/tex]espace  vectoriel [tex]{\mathcal M}_2 ({\mathbb R})[/tex] qui  est  de  dimension [tex]4[/tex], tu peux  considérer  toute  matrice carrée [tex]B= \left(\begin{array}{cc}a&c\\b&d \end{array} \right)[/tex]  comme  un  vecteur  dont  la  colonne  des   coordonnées  est [tex]X= \left( \begin{array}{c}a\\c\\b\\d \end{array} \right)[/tex] relativement à la base canonique [tex]{\mathcal B}=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22} )[/tex].
Ainsi  la  matrice  unité  que  tu  veux  montrer  est  un  vecteur  propre est  associée à  la  colonne  :[tex]X= \left( \begin{array}{c}1\\0\\0\\ 1\end{array} \right)[/tex].
Tu  comprends  donc  qu'il  te  faut  calculer  [tex]AX[/tex]  et  de  verifier  qu'il  existe  un  scalaire  [tex]\lambda[/tex]  tel  que  [tex]AX= \lambda X[/tex].
N'hésite  pas  de revenir  au  cas  où  tu  ne  comprends  pas.