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MOHAMED_AIT_LH · 13-01-2011 14:21:17

Bonjour,

D'abord, c'est un bon reflexe que de composer par [tex]u^{p-1}[/tex]. Ensuite , tu as [tex]u^{p-1} ( \alpha_0 x_0 + u(x_0) + ... + u^{p-1}(x_0))= \alpha_0 u^{p-1}(x_0) + \sum_{k=p}^{2p-2} \alpha_k u^k (x)[/tex]
Si tu remarque que pour tout [tex]k \geq p[/tex] on a [tex]u^k=0[/tex], je crois que tu vas comprendre comment ça marche.
N'hésite pas de revenir au cas où tu ne comprends pas toujours ...

Picatshou · 13-01-2011 12:26:46

salut ,Mohamed ,merci pour ta réponse, bon ,pour la première question elle se déduit de la définition de la nilpotence en effet si u est nilpotente d'indice p ,alors,[tex]u^{p}=0 et u^{p-1}[/tex] non nul donc il existe x tq:[tex]u^{p-1} (x) \neq 0[/tex]
mais pour la deuxième question j'essaye de montrer que cette famille est libre alors j'ai choisi (v0,........vp-1) tq [tex]v0x+................+vp-1u^{p-1}(x)=0[/tex]
j'ai composé cette expression avec [tex]u^{p-1}[/tex]
mais ,je ne vois pas comment [tex]u^{2p-2}= 0[/tex]càd comment 2p-2>p?
merci de me répondre ! :)

MOHAMED_AIT_LH · 11-01-2011 09:53:58

Bonjour :

Essaye de répondre aux questions suivantes :

Si [tex]u[/tex] est nilpotent d'indice de nilpotence [tex]p[/tex]

1) Justifier pourquoi il existe un vecteur [tex]x \in E[/tex] tel que [tex]u^{p-1} (x) \neq 0[/tex].
2) Montrer que la famille [tex](x,u(x),...,u^{p-1}(x) )[/tex] est une famille libre de [tex]E[/tex].
3) En déduire que [tex]p \leq n[/tex] et conclure.

Roro · 10-01-2011 20:20:20

Bonsoir,

Ca me fait penser à des histoires de sous-espaces vectoriels en drapeau... plus concrètement, tu dois pouvoir montrer que la suite des sous-espaces [tex]\mathrm{ker}(u^p)[/tex], p entier positif, est une suite croissante (au sens de l'inclusion) et que leur dimension est elle aussi une suite croissante (en fait strictement croissante puis stationnaire) d'entiers (inférieurs à n).

Je te laisse terminer !

Roro.

Picatshou · 10-01-2011 19:43:56

salut , merci mr fred de me répondre ,j'ai une autre question je serai contente si quelqu'un peut me répondre pour u dans L(E) tq dimE=n, je veux montrer que u est nilpotente ssi u^n=0
alors tout d'abord j'ai commencé par le cas où l'indice de nilpotence de u est p < n
on aura donc u^n =0
mais je ne trouve pas de solution pour p>n?
Merci beaucoup pour ce qui puisse me répondre! :)

Fred · 10-01-2011 18:59:05

Non, pense à l'identité....elle est évidemment diagonalisable, et toutes ses valeurs propres sont égales!

Il n'y a pas de conditions générales disant que toutes les valeurs propres sont distinctes, à part en utilisant le polynôme caractéristique....

Fred.

Picatshou · 10-01-2011 17:56:25

salut tout le monde , est ce que les valeurs propres d'un endomorphisme diagonalisable A sont obligatoirement deux à deux distinctes ? si non quand est ce que cette condition est vrai ?
merci d'avance pour ce qui puisse m'aider ! :)

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