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Bonsoir,

  La norme subordonnée est définie par
[tex]\|T\|=\sup_{\|x\|\leq 1}\|Tx\|[/tex]
Dire qu'elle est atteinte signifie que le sup est un max, c'est-à-dire qu'il existe
[tex]x_0[/tex] tel que [tex]\|x_0\|\leq 1\textrm{ et }\|Tx_0\|=\|T\|[/tex].

Pour trouver un exemple où elle n'est pas atteinte, il faut forcément se placer dans un espace de dimension infini.
Par exemple, si E est l'espace des fonctions continues sur [0,1] qui s'annulent en 0, muni de la norme [tex]\|.\|_\infty[/tex]
et si [tex]T(f)=\int_0^1 f(t)dt[/tex], tu peux prouver les choses suivantes :
1. [tex]\|T\|\leq 1[/tex]
2. Pour tout f avec [tex]\|f\|_\infty\leq 1[/tex], on a [tex]|T(f)|<1[/tex]
3. On peut trouver une suite [tex](f_n)[/tex] avec [tex]\|f_n\|\leq 1[/tex] et [tex]|T(f_n)|\to 1[/tex], et donc [tex]\|T\|=1[/tex] bien que cette norme ne soit pas atteinte.

Fred.