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MOHAMED_AIT_LH · 06-01-2011 17:12:07

Bonjour,

On peut ajouter qu'il s'agit de la symétrie orthogonale par rapport au plan constitué des polynôme pairs de degré in ferieur ou égal à [tex]3.[/tex]
Ce plan n'est autre que le sous-espace vectoriel des polynômes [tex]P[/tex] tel que [tex]\varphi(P)=P[/tex], autrement dit le sous-espace propre associé à la valeur propre [tex]1[/tex] pour [tex] \varphi.[/tex]
Le supplémentaire orthogonal de ce plan pour ce produit scalair est le plan constutué des polynômes impairs de degré inferieur ou égal à [tex]3.[/tex]
C'est le sous-espace propre associé à la valeur propre [tex]-1[/tex] de [tex]\varphi[/tex]

mathieu64 · 06-01-2011 14:27:21

Merci beaucoup tout est clair maintenant.

Fred · 06-01-2011 14:18:14

Bonjour,

A mon avis, on ne te demande pas de prouver que l'endomorphisme est symétrique et orthogonale, on te demande de prouver que l'endomorphisme est une symétrie (on peut définir une symétrie sans produit scalaire, cf ici) et qu'il est orthogonal.

Cela dit, une symétrie orthogonale est automatiquement un endomorphisme symétrique. Avec les notations de l'énoncé, on a
[tex]\phi\circ\phi=Id[/tex], ce qui entaîne [tex]\phi^{-1}=\phi[/tex]
et [tex]\phi^{-1}=\phi^*[/tex] (car c'est orthogonal). Donc [tex]\phi=\phi^*[/tex]

Fred.

freddy · 06-01-2011 14:14:43

Re,

merci Fred pour le lien dans la Bibmath : j'ai bien cherché, mais je me suis focalisé sur le mot clef "symétrie" et pas sur celui de "orthogonal"

A plus !

mathieu64 · 06-01-2011 13:30:04

Merci à vous 2 pour les explications. Pour l'orthogonalité c'est sur j'aurai du me poser 2 secondes avant de shmiter la base. Par contre je veux bien quand même que tu développes le côté symétrique je vois pas bien le rapprochement de 1. avec l'adjoint est égale à endomorphisme qui est la définition que j'ai d'un endomorphisme symétrique

Fred · 06-01-2011 13:09:04

Bonjour,

Un endomorphisme [tex]\phi[/tex] est une symétrie orthogonale si :
1. C'est une symétrie, c'est-à-dire que [tex]\phi\circ\phi=Id[/tex]
2. C'est un [url=http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./o/orthendo.html]endomorphisme orthogonal, c'est-à-dire que pour tous les vecteurs u et v de l'espace, [tex]\langle u,v\rangle=\langle \phi(u),\phi(v)\rangle[/tex].

Pour ton endomorphisme, la première propriété est évidente. La seconde est à peine plus difficile :
[tex]\langle \phi(P),\phi(Q)\rangle =\int_{-1}^1 P(-t)Q(-t)dt=\int_{-1}^1 P(t)Q(t)dt=\langle P,Q\rangle[/tex],
(on utilise juste un petit changement de variables).

Fred.

mathieu64 · 06-01-2011 12:35:27

Pour moi symétrie orthogonal ca veut dire que l'endomorphisme associé est symétrique et orthogonal.

freddy · 06-01-2011 12:26:22

Re,

Ce n'est pas l'endomorphisme qui est orthogonal, mais s'il transforme tout vecteur u en un vecteur v orthogonal à u, alors c'est une symétrie orthogonale, non ?

Qu'en penses tu ?

mathieu64 · 06-01-2011 12:17:26

Je vais réfléchir par ce que c'est pas clair pour moi. Par exemple si un endomorphisme u vérifie que pour tout x u(x)(scalaire)x=0 je vois pas pourquoi l'endomorphisme est orthogonale. Si j'envoie x et y 2 vecteurs orthogonaux générant un plan par u sur une droite orthogonale au plan alors u n'a pas l'air de transformer toute base orthonormal en base orthonormale donc u n'est pas orthogonal.
En plus si P=X^2 l'application lui associe P'=X^2
et X^2(scalaire)X^2 ça a pas l'air nul.

freddy · 06-01-2011 12:01:04

Re,

je ne comprends pas : on te donne la définition du produit scalaire dans ton espace vectoriel.

On te demande de vérifier que les deux vecteurs P(X) et P(-X) sont orthogonaux.

Alors je me dis tout simplement que tu n'as qu'à calculer P(X)(scalaire)P(-X) et si le produit scalaire est nul, ils sont orthogonaux !

Je me trompe ?

mathieu64 · 06-01-2011 11:56:57

ça à l'air vraiment évident mais je vois pas ou tu veux en venir. La base canonique n'est pas avec ce produit orthogonal.

freddy · 06-01-2011 11:54:28

Re,

alors, qu'est ce qui t'interdit de l'utiliser dans ton problème ?

mathieu64 · 06-01-2011 11:53:53

Pour moi c'est la définition de l'orthogonalité.

freddy · 06-01-2011 11:52:09

Re,

si tu sais que deux vecteurs u et v sont orthogonaux, tu n'as rien qui te dit qu'alors u scalaire v = 0 ?

mathieu64 · 06-01-2011 11:48:25

Je vois pas auquel tu fais allusion.

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