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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- freddy
- 24-12-2010 19:28:57
Re,
erreur de fainéant ? Non, pas sûr, mais il faut que tu reconstruises le chemin de certaines "évidences" ...
De la même manière, peux tu établir que l'élément neutre d'un groupe est nécessairement unique ?
Noueux Joël !
- alucard_xs
- 24-12-2010 11:12:39
ah d'accord, c'était donc juste une erreur de "fainéant" alors ?
Voilà qui me rassure :)
Merci encore Freddy !
- freddy
- 24-12-2010 11:00:36
Re,
là oui, je suis d'accord : il faut que tu montres toutes les étapes du raisonnement.
Je sais, c'est troublant, car on nous a aprris en mettant la charrue avant les boeufs. Mais puisque tu veux faire de l'algèbre, faut au moins une fois que tu retrouves des résultats déjà acquis dans des ensembles que tu manipules depuis ta naissance :-)
- alucard_xs
- 24-12-2010 10:40:43
bien.
[tex]{{x}_{1}}^{-1}.x.{{x}_{1}}^{-1}={{x}_{1}}^{-1}.x.{{x}_{2}}^{-1}[/tex]
or, [tex]{{x}_{1}}^{-1}[/tex] étant un élément symétrique de x (hypothèse de départ), nous avons [tex]{{x}_{1}}^{-1}.x=e[/tex]
soit [tex]e.{{x}_{1}}^{-1}=e.{{x}_{2}}^{-1}[/tex] et là je peux en conclure que [tex]{{x}_{1}}^{-1}={{x}_{2}}^{-1}[/tex] ?
Arf, ça ne doit pas être bon non plus, car je ne vois pas la différence dans mon raisonnement par rapport à tout à l'heure, puisque j'avais posé [tex]{{x}_{1}}^{-1}[/tex] et [tex]{{x}_{2}}^{-1}[/tex] étant des symétriques de x dans E.
"Non, tu n'as pas le droit de faire cette déduction, même si tu l'as apprises depuis longtemps pour une raison que tu vas vite comprendre."
Peux-tu me donner un exemple où cela ne fonctionne pas, pourquoi ne pourrais-je pas affirmer ce que j'affirmer ? Je ne vois pas.
- freddy
- 24-12-2010 10:32:42
un troisième ? T'en n'as pas déjà assez de 2 ?
Non, non, composes à gauche par [tex]x_1^{-1}[/tex] par exemple, et regarde ce que tu peux en déduire ...
- alucard_xs
- 24-12-2010 10:12:53
décidemment, la logique ne me vient pas vite ...
bon je relativise, Rome ne s'est pas fait en un jour, et quand je compare mes connaissances sur les ensembles entre aujourd'hui et il y a 2 semaines, j'ai quand même progressé.
Composer à gauche l'égalité [tex]x.{{x}_{1}}^{-1}=x.{{x}_{2}}^{-1}[/tex] ... soit ... mais il me faut bien arriver à [tex]{{x}_{1}}^{-1}={{x}_{2}}^{-1}[/tex] non ?
Si oui, il me faut supprimer ces "x", en passant par un troisième symétrique peut-être ?
sinon j'aurais :
[tex]Avec\,y\,\in \,E\,:\,y.x.{{x}_{1}}^{-1}=y.x.{{x}_{2}}^{-1}\,...[/tex] mais bon je suis bloqué à cet étage là ...
- freddy
- 24-12-2010 09:44:00
Bonjour,
Soient G un groupe et f l'application de G dans G définie par [tex]f(g)=g^2[/tex].
Montrer que f est un endomorphisme de G ssi G est abélien
A
près m'être renseigné, il me semble que la lci de G est bien la multiplication
Oui, sauf que tu ne sais rien su rle groupe lui même On va donc convenir que [tex]g^2=g.g[/tex].
PS3 : non. Tu as f et le groupe G. Endomorphisme = un morphisme dans lui même. Comme dans le lien que je t'ai signalé (il faut se servir du dico de la bibmath ...) il faut donc que tu vérifies que f de G dans G conserve à G ses pptés.
Question : on suppose . associative, montrer que si [tex]x\in E[/tex] est inversible alors x a un unique inverse
Ma réponse :
Si x est inversible alors [tex]\forall x\in E,\,\exists \,{{x}_{1}}^{-1}\in \,E\,tel\,que\,x.{{x}_{1}}^{-1}=e[/tex]
Soit [tex]{{x}_{2}}^{-1}un\,second\,symétrique\,de\,x\,dans\,E\,alors\,x.{{x}_{2}}^{-1}=e[/tex]
On a ainsi [tex]x.{{x}_{1}}^{-1}=e=x.x{{.}_{2}}^{-1}[/tex]
Donc [tex]{{x}_{1}}^{-1}={{x}_{2}}^{-2}[/tex]CQDF non ?
Non, tu n'as pas le droit de faire cette déduction, même si tu l'as apprises depuis longtemps pour une raison que tu vas vite comprendre.
Il faut ensuite que tu composes à gauche l'égalité [tex]x.{{x}_{1}}^{-1}=x.x{{.}_{2}}^{-1} [/tex] par un terme de ton choix pour déduire l'unicité des symétriques.
Bonne fêtes à toi aussi !
- alucard_xs
- 24-12-2010 08:09:56
Bonjour,
je pose le problème tel qu'il m'est posé :
Soient G un groupe et f l'application de G dans G définie par [tex]f\left(g\right)=g²[/tex].
Montrer que f est un endomorphisme de G ssi G est abélien
PS : je n'ai aucune indication sur la lci de G, donc je l'ai noté T
PS2 : après m'être renseigné, il me semble que la lci de G est bien la multiplication.
Donc si tel est le cas, c'est très simple.
Merci une fois de plus pour ton aide et passe un agréable réveillon et un très bon Noel !
PS3 : mon raisonnement est t'il bon ?
Question : on suppose . associative, montrer que si [tex]x\in E[/tex] est inversible alors x a un unique inverse
Ma réponse :
Si x est inversible alors [tex]\forall x\in E,\,\exists \,{{x}_{1}}^{-1}\in \,E\,tel\,que\,x.{{x}_{1}}^{-1}=e[/tex]
Soit [tex]{{x}_{2}}^{-1}un\,second\,symétrique\,de\,x\,dans\,E\,alors\,x.{{x}_{2}}^{-1}=e[/tex]
On a ainsi [tex]x.{{x}_{1}}^{-1}=e=x.x{{.}_{2}}^{-1}[/tex]
Donc [tex]{{x}_{1}}^{-1}={{x}_{2}}^{-2}[/tex]
CQDF non ?
Je m'interroge sur ma logique car dans le corrigé que j'ai sous les yeux, ils ne procèdent pas de la même manière.
- freddy
- 23-12-2010 22:57:48
Re,
ce que je ne comprends pas est ta lci dans G.
Dans l'ensemble de départ, tu as la lci notée X qui confère à G une structure de groupe abélien ; dans le même ensemble G, qui est l'ensemble d'arrivée, tu définies la lci notée T. Confère t-elle à G une autre structure de groupe ?
Sinon, peux tu définir plus clairement, par rapport à quelle lci se définit le [tex]x^2[/tex] du texte, stp ? En soi, il n'a aucun sens (sauf pour la multiplication dans un ensemble E inclus dans C sans autre précision).
Plus généralement, peux tu être plus précis dans l'énoncé de tes pbs, stp ? On ne peut pas en effet deviner ton environnement de travail, car c'est toute la puissance de l'algèbre que de travailler avec des concepts généraux.
Merci d'avance. A te lire !
- alucard_xs
- 23-12-2010 16:35:12
oui indirectement on va dire, via d'autres sources.
J'ai du zappé quelque chose peut-être.
j'arrive à un joli xTx X(le produit) yTy.
Vu qu'on pose G abélien, on peut donc s'amuser à commuter les symboles X et T mais pas moyen d'arriver à mon x²Ty²
Dans mon problème, la loi de composition interne à G, notée T n'est pas la multiplication, hélas.
- freddy
- 23-12-2010 16:30:08
- alucard_xs
- 23-12-2010 15:53:28
je progresse lentement mais bon ... lentement mais surement.
Sinon j'avance sur les morphismes de groupes et je bloque sur
"Si G est abélien alors x [tex]\rightarrow [/tex] x² réalise un endomorphisme sur G"
il faudrait que je casse une barrière :
il faut que je montre que (xTy)²=x²Ty² ... je pense
- freddy
- 23-12-2010 15:21:09
Perfect !
si tu as le temps, essaie de prouver (si ce n'est déjà fait) que l'élément neutre d'un groupe est unique, ainsi que le symétrique de chaque élément.
C'est bon pour la "technique" !
Bb
- alucard_xs
- 23-12-2010 12:27:07
Yes !
Soit p le symétrique de g.h dans G,
(g.h).p=1
[tex]\Rightarrow {g}^{-1}.g.h.p={g}^{-1}.1[/tex]
[tex]\Rightarrow 1.h.p={g}^{-1}[/tex]
[tex]\Rightarrow {h}^{-1}.h.p={h}^{-1}.{g}^{-1}[/tex]
[tex]\Rightarrow p={h}^{-1}.{g}^{-1}[/tex]
Donc le symétrique de g.h est bien [tex]{h}^{-1}.{g}^{-1}[/tex]
cool :) merci !
- freddy
- 23-12-2010 12:17:23
Re,
t'es le bienvenu !
En fait, dans G, tu as g et son symétrique, et h et son symétrique, mais tu ne sais rien sur le symétrique de (gh) sauf qu'il appartient à G.
Il faut donc que tu le construises. Tu définies p le symétrique de (gh), tu prends la définition du symétrique : p.(gh)=1 et tu composes à droite et à gauche (+ associativité) pour arriver au résultat.
OK ?