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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- MOHAMED_AIT_LH
- 25-12-2010 20:03:34
Bonjour,
Merci Freddy pour les renseignements pédagogiques, très utils d'ailleurs pour moi.
- freddy
- 25-12-2010 11:58:21
Salut l'ami !
Pace è salute !
Je vois que tu es un orfèvre en algèbre, c'est bien.
Sur l'aspect "communication", c'est comme la prose de Monsieur Jourdain : tu en fais sans le savoir. A partir du moment où tu échanges avec un quidam, tu communiques. Pis : quand tu souhaites partager tes connaissances, tu communiques dans le sens top-down (maître - élève si tu préfères).
yoshi pourra te le montrer de moult façons : un exemple n'est jamais choisi au hasard, il est construit pour illustrer une idée, mais ne doit pas soulever des questions parasites qui jetteraient le doute dans l'esprit de l'élève. En clair, il doit être cohérent et auto suffisant. Et construire un sujet d'examen ou un exemple illustratif est un art !
Pour ta voie d'approfondissement, j'ai répondu un peu vite, je croyais qu'il y avait d'autres lecteurs sur le coup !
A te lire, ciao amigo !
- MOHAMED_AIT_LH
- 25-12-2010 01:43:23
Bonsoir :
puis poser une question qui serait sans lien avec le rest.
En disant : petit approfondissement de la question, c'est que je vois qu'il y a un lien :
Dans le [tex]\mathbb R-[/tex] espace vectoriel [tex]\mathbb C[/tex] la condition [tex] \Im(\omega) \neq 0[/tex] suffit pour que le couple [tex](1,\omega)[/tex] soit une base ...alors que cela ne suffit pas dans le cas du [tex]\mathbb Z-[/tex] module [tex]{\mathbb Z}[i][/tex] , la condition devient |[tex] \Im(\omega)|=1[/tex]
.... en ai déduit qu'il fallait que b soit divisible par v.
à ce que je vois c'est :
[tex] \forall b \in {\mathbb Z} \quad v| b[/tex] (je souligne l'importance du quantificateur)
et c'est clair que c'est une proposition qui dépend uniquement de [tex]v[/tex]
Ell est équivalente à [tex] |v|=1 [/tex]
Je veux dire : [tex] (\forall b \in {\mathbb Z} \quad v| b) \iff ( |v|=1)[/tex]
et c'est exactement la condition déjà signalée en haut , à savoir : |[tex] \Im(\omega)|=1[/tex]
semble méconnaître une règle essentielle en communication : rien n'est jamais "gratuit".
C'sst vrai que je n'ai pas une formation particulière en communication. Cependant je n'ai pas l'idée que pour contribuer dans un forum il faut avoir une telle formation...
Finalement , merci pour les observations.
- freddy
- 24-12-2010 22:17:01
Bonsoir,
mon ami, tu me surprends et semble méconnaître une règle essentielle en communication : rien n'est jamais "gratuit".
En clair, tu ne peux pas faire un long développement sur le changement de base entre (1,i) et (1,w), puis offrir de travailler sur un ensemble particulier dont tu donnes la définition générique, puis poser une question qui serait sans lien avec le reste.
J'ai fait une lecture linéaire de ton propos, fait le lien entre le premier et le second paragraphe et en ai déduit qu'il fallait que b soit divisible par v.
Voilà ! Désolé d'avoir fait un hors sujet et une bonne continuation.
- MOHAMED_AIT_LH
- 24-12-2010 21:30:40
Bonsoir
Mais [tex]b[/tex] n'est pas une donnée du problème. On ne le voit nul part (sauf comme variable muette dans la définition de [tex]{\mathbb Z}[i] [/tex]
La condition que je voulais c'est [tex] v^2=1[/tex]
En effet, si par exemple [tex]v=1[/tex] alors [tex]\omega =u +i [/tex] et donc [tex]i=-u + \omega[/tex] (N'oublions pas que [tex] u \in {\mathbb Z}[/tex] .... )
Donc si [tex]z \in {\mathbb Z}[i][/tex], disons [tex]z=x+yi[/tex] avec [tex](x,y) \in {\mathbb Z}^2[/tex] alors [tex] z= x+y(-u + \omega)=(x-yu) + y \omega [/tex]
si [tex]v=-1[/tex] même chose ....
La réciproque : on attends un peu ...
- freddy
- 23-12-2010 23:19:57
Re,
je me permets d'insister : entre [tex]b[/tex] et [tex]v[/tex] ...
Mais chut ! Attendons la suite ...
- MOHAMED_AIT_LH
- 23-12-2010 19:20:41
Bonsoir
Pour Freddy , tu veux dire entre [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex]?
- freddy
- 23-12-2010 10:33:26
Salut !
je subodore que tu voudrais qu'on trouve une relation sympathique entre b et v ...
Je n'en dirai pas plus, chuuut !
- MOHAMED_AIT_LH
- 23-12-2010 00:59:07
Bonsoir:
[tex] \clubsuit[/tex] Si on veut généraliser un peu ce résultat on peut remplacer [tex] j[/tex] par un nombre complexe [tex] \omega [/tex] de partie imaginaire non nul.
En effet : si on suit l'approche suggéré par Freddy; il suffit de remarque que dans le [tex]{\mathbb R}- [/tex] espace vectoriel [tex] \mathbb C [/tex] de dimension [tex]2 [/tex] , une famille de la forme [tex](1,z) [/tex] est libre si et seulement si [tex]\Im(z) \neq 0 [/tex] (on peut utiliser par exemple la calcul de determinant pour le voir). Notons que cela à lui seul suffit pour répondre à la question initialement posée par undefined, mais si on veut une expression expliicite de la combinaison , on doit exprimer [tex]i[/tex] dans la base [tex] (1,\omega)[/tex]
Si [tex]\omega=u + iv [/tex] avec [tex] (u,v) \in {\mathbb R}^2[/tex] avec [tex]v \neq 0[/tex] alors on a [tex] i= \frac 1v (\omega - u) = -\frac{u}{v} + \omega \frac 1v[/tex] et par suite , si [tex]z=x+iy \in {\mathbb C}[/tex] avec [tex](x,y)\in {\mathbb R}^2[/tex] alors [tex]z= \left(x- \frac{yu}{v} \right) + \frac yv \omega [/tex]
Sauf erreur bien entendu !
[tex] \clubsuit[/tex] Un petit approfondissement de cette question : On note [tex]{\mathbb Z}[i] = {\mathbb Z} + {\mathbb Z} i = \{a+bi / (a,b) \in {\mathbb Z}^2 \} [/tex] et soit [tex]\omega =u + iv \in {\mathbb Z}[i] [/tex].
Sous quelles conditions tout élément de [tex]{\mathbb Z}[i] [/tex] est une combinaison linéaire à coefficients entiers de [tex]1 [/tex] et [tex]\omega [/tex] ?
- freddy
- 22-12-2010 23:31:43
Salut Hadrien,
on dit et écrit "au temps pour moi" : c'est une phrase de chef d'orchestre qui se reprend !
Bien à toi,
Freddy
- thadrien
- 22-12-2010 19:52:45
Autant pour moi : j'avais lu qu'il fallait montrer que c'était combinaison linéaire de [tex]1[/tex] et [tex]i[/tex] et non pas de [tex]1[/tex] et [tex]j[/tex]. Faut dire, sans LaTeX, le code devient vite illisible...
- MOHAMED_AIT_LH
- 22-12-2010 19:35:54
Bonjour
Encore plus simple est de voir que [tex](1) \quad i= \frac{\sqrt 3}{3} + j \frac{2\sqrt 3}{3}[/tex]
Un nombre complexe [tex]z=a+bi[/tex] avec [tex](a,b) \in {\mathbb R}^2[/tex] , tu remplaces
[tex] i[/tex] par sa valeur dans [tex](1)[/tex] et tu as le résultat.
- undefined
- 22-12-2010 18:48:22
Ok merci pour vos réponses
- freddy
- 22-12-2010 17:44:13
Re,
une autre manière qui le démontrerait, en passant par la notion de vecteurs libres : tu considères le vecteur nul et tu regardes que toute combinaison linéaire en 1 et j de ce vecteur nul est à coefficient réel nul.
ce qui revient à poser a=b=0 dans le système ci-dessus et tu en déduits que, nécessairement, béta= 0 puis que alpha est aussi égal à 0.
Bb (et salut à Hadrien).
- freddy
- 22-12-2010 17:23:48
Salut,
en première lecture, il faut et il suffit que tu montres que 1 et [tex]j=-\frac12+i\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] forme une base du R-espace vectoriel C, non ?
Donc si tu prends un vecteur quelconque z de C tel que [tex]z = a+ib =\alpha+\beta j[/tex], il faut résoudre par rapport à alpha et beta le système de deux équations à deux inconnues :
[tex]\begin{cases}a=\alpha+-\frac12 \beta \\ b =\beta\times \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}[/tex]
ce qui est possible dans tous les cas.
Donc ...