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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- MOHAMED_AIT_LH
- 19-12-2010 00:43:54
Bonsoir,
Merci freddy pour les précieux conseils!
Pour mathieux.gibert et afin de lui faciliter la tâche , on peut ajouter que la régle :
[tex]\large (\forall x \in ]0,+\infty[) \quad \ln x \leq x-1 [/tex] avec égalité si et seulement si [tex]x=1[/tex] est à connaître.
La preuve se fait à l'aide de plusieurs méthodes possibles, dont :
1) Etude des variations de la fonction [tex] u[/tex] définie par [tex] u(x)=x-1- \ln x[/tex] pour tout [tex]x \in ]0,+\infty[[/tex]
2) Remarquer que la fonction [tex]\ln [/tex] est concave sur [tex]]0,+\infty[[/tex] et étant dérivable on peut dire que son graphe est au dessous de toutes ses tangentes, en particulier la tangente au point d'abscisse [tex]1[/tex]
Notons que dans ton exercice tu as besoin uniquement de [tex] \ln x \leq x[/tex] et là l'inégalité est stricte
Tu peux déduire une inégalité similaire concernant la fonction exponentielle ...
Une autre inégalité peut être utile en remarquant que pour tout [tex]x>0[/tex] on a [tex] \ln x= 2 \ln \sqrt{x} \leq 2 (\sqrt {x}-1) [/tex]
- freddy
- 18-12-2010 18:38:00
Bonsoir Mathieu,
message reçu, pas de problème et bon courage pour cet été.
Essaie de faire les sujets de Spéciales, tu verras, c'est de la bonne technique.
Bb
- freddy
- 17-12-2010 18:21:24
Salut !
en maths autant qu'ailleurs, sinon plus, il n'y a qu'une seule recette : le travail, le travail, le travail ...
L'habileté vient avec l'expérience, et pour accumuler de l'expérience, il faut travailler, encore et toujours travailler.
Un copain me disait un jour : je suis un grand paresseux, je ne travaille pas assez. A ma question pleine d'étonnement, il me précisa : "oui, le WE, je ne fais pas grand chose ..."
Voilà, tu connais "un" secret, partagé par tant d'autres.
- mathieu64
- 17-12-2010 17:43:47
tout simplement en effet, mais pas encore pour moi apparemment.
- freddy
- 16-12-2010 23:27:19
Re,
pour le coup, c'est assez facile de répondre à la question.
La dérivée de f est égale à : [tex]\forall x > a > 0,\;f'(x)=\left(ln\left(1-\frac{a}{x}\right)+\frac{a}{x-a}\right)\times f(x)[/tex]
le signe de la dérivée de f est donné par : [tex]\forall x > a > 0,\;\frac{a}{x-a}-ln\left(\frac{a}{x-a}\right) > 0[/tex]
Donc la suite associée est monotone croissante.
Einfach, nicht wahr ?
- mathieu64
- 16-12-2010 23:02:43
est ce que la fonction que freddy a suggeré d'étudier est compliquée parce que je galère à montrer quelle est croissante pour x>a
et merci de l'aide
- thadrien
- 16-12-2010 22:02:26
Salut,
La méthode de Fred fonctionne en effet très bien, mais à condition que (un) soit positive, ce qui est le cas ici.
- Fred
- 16-12-2010 20:46:29
Salut,
Voici une méthode avec garantie de résultat, mais qui est un peu bourrin.
Tu regardes
[tex]\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1-a}{n+1}\times \left(\frac{n+1-a}{n-a}\right)^n\times\left(\frac{n}{n+1}\right)^n[/tex]
et tu fais un développement limité de cette quantité. Tu trouveras 1+autre chose.
En faisant le DL, tu verras si cette autre chose est positive ou négative qd n est grand.
Ainsi, tu auras [tex]u_{n+1}/u_{n}\leq 1[/tex] ou [tex]\geq 1[/tex] pour n grand, ce qui te dira si la suite est croissante. Cela dit, cela donnera pas mal de calculs, et sans doute une discussion suivant la valeur de a (a=0 est sans doute critique, car alors la suite est constante!).
Fred.
- mathieu64
- 16-12-2010 18:51:43
ok, merci j'avais déjà essayé mais sans trop de succès. Si c'est la direction je m'y remets.
- freddy
- 16-12-2010 18:43:49
Re,
au bénéfice d'inventaire, j'étudierais la fonction de la variable réelle :
[tex]\forall x > a,\;f(x)=exp\left(x\times ln\left(1-\frac{a}{x}\right)\right)[/tex]
- mathieu64
- 16-12-2010 18:32:11
par exemple si a=3 montrer que la suite est croissante à partir de u4
- freddy
- 16-12-2010 18:18:26
Salut,
la réponse est dans la question : à partir de quelle valeur de n commences tu à définir la suite ?
Ensuite, la monotonie de la suite peut être observée à partir d'un certain rang, donc ...
- mathieu64
- 16-12-2010 18:02:15
Bonsoir,
J'aimerais savoir comment on détermine si la suite [tex] un= (\frac{n-a}{n})^n [/tex] avec a>0 est croissante à partir du rang n0 ou n0>a.
Merci