Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Re,

en relisant, je m'aperçois que j'ai oublié une contrainte majeure.

Il faut enfin que [tex]K_6 \geq 0[/tex].

Cette contrainte signifie que le PDG ne peut pas emprunter, sans quoi il serait tout à fait rationnel d'emprunter à 10 % pour placer à des taux strictement supérieurs.

Bb

Bonjour,

en dépit de la remarque tout à fait fondée de yoshi, je vais poursuivre le développement de la solution, à toutes fins utiles.

Je crois que j'ai compris comment on veut que tu fasses.

Tu dois programmer une procédure d'arbitrage. J'ai K kUM et face à moi, 6 projets d'investissements possibles. Par application de la règle des signes en finance (comme en physique), toute somme placée (ou versée) est signée négativement, et toute somme reçue, positivement. Second principe : chaque somme disponible peut être placée à 10 % par an, capitalisable annuellement.

A priori, le programme n'est pas censé avoir fait le travail de calcul des TRI. Mieux : j'enseigne à mes élèves ingénieurs les dangers de tout baser sur un calcul de TRI, on peut montrer de plusieurs manières différentes comment on peut se tromper sans le voir, ce qui en général coûte son job dans une boîte d'investissement !

La règle de décision la plus sûre est celle qui se base sur le calcul de la valeur actuelle nette (ou acquise) - la van -, ou bien, dans ton cas, la valeur future des placements réalisés, i. e des sommes reçus minus les sommes versées, chacune étant capitalisée au taux sans risque de 10 %.

Ma préférence, et celle de tous les praticiens en la matière, est le calcul de la van, car nous ne sommes certains que d'aujourd'hui (de la mort et des impôts ..., blague d'actuaire).

D'une façon générale, on calcule la VAN(P, taux) du projet P au taux donné de la manière suivante :

[tex]VAN(P, x)=\sum_{p=0}^5 \frac{F_p}{(1+x)^p}[/tex] avec F symbolisant les flux versés ou reçus.

En fixant x=10 %, qui est le taux de placement alternatif, la van de P2 devient est égale à : 23,14 kUM, pour 50 kUM investis, celle de P4 = 1,77 kUM pour chaque fraction de 7 kUM et celle de P5 = 0,04 kUM pour chaque 1 kUM investi.

Bien entendu, la van de P6 = 10 kUM. Il est conseiller de faire le calcul pour bien s'assurer qu'on  bien compris ...

Pour bien faire, il faut développer à chaque fois complètement le calcul.

Partant de là, on voit que la fonction objectif est égale à 

[tex]Max\left(\sum^{6}_{p=1} VAN(p,0.10)\right)[/tex]

sous les contraintes :

[tex]\sum^{6}_{p=1}{K}_{p}\leq K[/tex]

[tex]K_1=40\;\text{ou}\;0[/tex]

[tex]K_2=50\;\text{ou}\;0[/tex]

[tex]\text{si}\; K_1=40 \Rightarrow K _3=20\;\text{ou}\;0[/tex]

[tex]K_4=\alpha\times 7,\;\alpha \in [5,10][/tex]

[tex]0\leq K_5 \leq 60[/tex]

Voilà : roulez bolides !

Je reviens.

J'ai relu le problème. Théorie des choix et du portefeuille qu'on peut résoudre par un programme d'optimisation linéaire de la manière suivante, si j'ai bien compris.

On dispose d'un capital disponible de montant K milliers d'unités monétaires (kUM).

On peut placer K de 6 manières différentes : P1 pour 40, P2 pour 50, ... P5 pour un montant compris entre 35 à 60 kUM et un placement à 10 % pour un montant illimité.

Objectif : trouver le ou les placements tq le montant K à l'année 5 soit maximum.

Contrainte : la somme des différents placements ne peut excéder le montant initial disponible, soit K kUM.

Théorie : la somme en fin d'année 5 est maximale ssi le taux de rendement est le plus élevé. Toutefois, il y a rationnement dans les placements disponibles, sauf dans le taux sans risque de 10 %. C'est ce rationnement qu'il faut gérer par le pgm d'optimisation.

Analyse du projet P2 : -50 + 25 + 25 + 30 + 20 = + 50 dans 5 ans. Cela étant, le facteur temps n'est pas intégré. On va calculer le taux de rendement interne (TRI) de l'opération. C'est la valeur x positive qui résout l'équation actuarielle :

[tex]-50 + \frac{25}{(1+x)^2} + \frac{25}{(1+x)^3} + \frac{30}{(1+x)^4}+ \frac{20}{(1+x)^5} = 0[/tex]

Les puissances 2, 3, 4 et 5 correspondent aux dates (année) de perception des flux.

On trouve TRI2 = 23 % > 10 %

Il faut faire de même sur P1, mais il manque un cash flow (tu en donnes 3 et il devrait y en avoir 4, sans savoir l'année correspondante). Si tu peux nous le donner ? Remarque : P3 est lié à P1, donc ...

Analyse de P4 :

[tex]-7 + \frac{2}{(1+x)} + \frac{2}{(1+x)^2} + \frac{2.5}{(1+x)^3} + \frac{3}{(1+x)^4}+\frac{2.5}{(1+x)^5} = 0[/tex], soit TRI4 = 20 % < 23 %.

Analyse de P5 : [tex]-1 + \frac{0,4}{(1+x)^3} + \frac{0,6}{(1+x)^4} + \frac{0,5}{(1+x)^5} = 0[/tex]. On trouve TRI5 = 11 %.
Donc le pgm d'affectation optimale des capitaux K consiste : à calculer les tri des différents investissements possibles, d'affecter les fonds disponibles dans la limite de chaque projet dans l'ordre décroissant des TRI et en respectant les règles d'investissement propre à chaque projet.

Sujet touffu s'il en est, ...

A te lire.

PS : avec un peu plus de réflexion, je devrais pouvoir donner les briques conceptuelles du pgm. A plus, je vais grimper !

Bonjour,

Même si je ne sais pas ce que sont les cash flows" ni les "ert", je vais tenter de te donner une piste.
Tu tapes sur Google "programmation linéaire" ou "méthode du simplexe", voire si tu as le coeur bien accroché "optimisation en norme L1".

Dans les cas des deux premiers, tu vas tomber sur de nombreux exemples similaires au tien qui décrivent assez bien ce que sont les contraintes et la fonction objectif.

Bon courage,

Thomas.

Bonjour

svp j ai besoin de votre aide concernant cet exercice j ai rien pigé en fait en terme de contraintes et de la fonction objectif j ai essayé plusieurs fois de le résoudre mais en vain .
svp n hésiter pas à me donner le coup de main sur ceci c est urgent !!.

L' exercice est comme suit :

Une société de services dispose de k kUM (Mille Unités Monétaires) qu'elle veut investir avec les possibilités suivantes:
1) Location d'une agence auprès de la compagnie d'assurance EAGLE. Cet investissement
nécessite un montant de 40 kUM et rapporte les cash flows suivants : 18 kUM, 20 kUM et 22
kUM respectivement à la n de la première, deuxième, troisième et quatrième anée.

2) Location de l'hôtel Rex pour une période de quatre ans, à partir de la deuxième année.
Cet investissement nécessite un montant de 50 kUM et rapporte successivement 25, 25, 30 et
20 kUM à la n de la deuxième, troisième, quatrième et cinquième année

3) Aménagement d'une agence de voyage dans le lobby de l'hôtel Rex deux années après
sa location : cela coûte 20 kUM et rapporte 25 kUM au début de chacune des deux années
suivantes.

4) Participation dans l'augmentation du capital de l'agence de voyage Atlas. Ce placement
est oert au début de la première année. Il doit se faire par tranches de 7 kUM jusqu'à
concurrence de 70 kUM. De plus, tout placement de 7 kUM engendre 2, 2, 2.5, 3 et 2.5 kUM
au début de chacune des années suivantes.

5) Participation à l'augmentation du capital de la compagnie d'assurance Eagle jusqu'à
concurrence de 60 kUM . Cet investissement n'est oert qu'au début de la troisième année et
seulement pour les gérants d'agences Eagle. Chaque UM de placement rapporte 0.4, 0.6 et 0.5
UM au début des années suivantes.
Le PDG juge indispensable que la participation de la société dans l'augmentation du capital
de l'agence Atlas soit d'au moins 35 kUM pour envisager la possibilité de louer l'hôtel Rex et
ce an de s'assurer une clientèle stable.
Parallèlement, la société peut placer ses liquidités à l'épargne au taux de 10 %. Sachant que
la société veut maximiser ses avoirs à la n de la cinquième année, formuler un programme
linéaire permettant de déterminer la meilleure stratégie de placement d'un capital de k kUM.

JE CHERCHE à avoir une idée sur les contraintes existantes ainsi la fonction objectif merci de bien vouloir m aider .

Sarah