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Suite et fin !

On a [tex]\forall k \ge 2,\,P(T=k)=\prod_{p=1}^{k-1} P\left(X_{p+1} \le X_p\right)\times P\left(X_k > X_{k-1}\right)=\left(F_X\left(X_1 =x\right)\right)^{k-1}\times \left(1-F_X\left(x\right)\right)[/tex]
puisque finalement tout dépend de la valeur que prend la première v. a [tex]X_1[/tex]

On en déduit que :

[tex]\forall n \ge 2,\,P(T\ge n)=\sum_n^{+\infty}\left(F_X\left(x\right)\right)^{n-1}\times \left(1-F_X\left(x\right)\right)=\left(F_X\left(x\right)\right)^{n-1}\; \Leftrightarrow F_X(x) < 1[/tex] (sinon, l'événement est impossible - probabilité nulle)

et on vérifie que T est presque sûrement finie, puisque

[tex]P(T < +\infty)=1-\lim_{n \to +\infty} P(T \ge n)=1\; \Leftrightarrow F_X(x) < 1[/tex].

Enfin on calcule :

[tex]E(T)=\sum_{k=2}^{+\infty}k\times \rho^{k-1}\times (1-\rho)=\frac{\rho(2-\rho)}{1-\rho},\,\text{avec}\,F_X(x)=\rho < 1,\,\text{et} 0\,\tex{sinon}[/tex]
sauf erreur.

Bb

Re,

la v. a discrète Y indique à quel "essai" une v.a est en dessous du premier résultat repéré par i=0, quel que soit l'événement [tex]\omega \in \Omega[/tex].

[tex]\Omega[/tex] est la tribu des événements.

On travaille dans [tex]\mathcal{N}^*[/tex], donc on exclut le premier résultat, base de la comparaison.

Soit [tex]n \in \mathcal{N}^*[/tex].

[tex]\{Y > n \} \Leftrightarrow \forall \omega \in \Omega, \forall i,\;1 \le i \le n,\; X_i(\omega) \ge X_0(\omega) \Leftrightarrow \{Inf\left(X_0,\,X_1,\,\cdots\,\,X_n\right)=X_0\}[/tex] p.s

On déduit [tex]P(Y > n)=\left(1-F_X\left(X_0\right)\right)^n[/tex] par indépendance des V. A. R

Hello !

Thank's a lot, yoshi !

Salut garçon !

Si tu commences un message sans une formule de politesse, le code ne s'affiche pas !

J'ai encore corrigé.

Freddy

Salut garçon,

je reprends ton sujet comme je le lis, je le lie :

Soit ([tex]X_n[/tex]) une suite de v.a. indépendantes de même loi, de fonction de répartition F continue.

1) Montrer que [tex]P\left\{w,\; \exists\,(i,j) \in N^*\times N^* \;/\; X_i(w) = X_j(w)\right\}=0[/tex]

2) On définit la v.a. Y (car prendre N dans N, c'est peu rigoureux, même si on voit bien que c'est une va de comptage  ...)  à valeurs dans [tex]N^*[/tex]:

   [tex]Y(w) = \inf\{n \in N^*: X_n(w) \le X_0(w)\}[/tex]

                = [tex]+ \infty\; \Leftrightarrow Y(\omega)=\varnothing [/tex]

  a) Montrer que

    [tex] \forall n \in N^*,\;\{Y>n\} = \{inf(X_0,X_1,...,X_n) = X_0\}[/tex] p.s.

  b) En déduire [tex]P\{Y>n\}[/tex]

     Montrer que Y est p.s. finie.

     Calculer E(Y).

3)Soit T la v.a. à valeurs dans [tex]N^*\setminus\{1\}[/tex]  définie par

  [tex] T(w) = k \Leftrightarrow  X_1(w) \ge X_2(w) \ge ...\ge X_{k-1}(w)\;\texte{et}\; X_{k-1}(w) < X_k(w)[/tex]

  Calculer [tex]P\left(T\ge n\right)[/tex]

  Montrer que T est p.s. finie

  Calculer E(T)

Voilà ce que je voulais voir, garçon !

Dis moi si c'est OK, corrige s'il le faut, et on verra pour la suite !

Mais attention : la rigueur d'écriture qui doit aller de pair avec la rigueur de la pensée, non ? ! :SSS

Bis bald ... vielleicht !

Bonjour

j´ai utilisé LaTex et sur mon ordi c´est bien le cas ?! :S

On a travaillé avec la mesure de Lebesgue!
Mes v.a. sont réelles!

Bonjour j´ai des problèmes avec l´exo suivant

Soit ([tex]X_n[/tex]) une suite de v.a. indépendantes de même loi, de fonction de répartition F continue.
1) Montrer que P{w: ils existent i,j: [tex]X_i(w) = X_j(w)[/tex] } = 0
2) On définit la v.a. N à valeurs dans [tex]N^*[/tex]:
   N(w) = inf{[tex]n \in N^*: X_n(w) \le X_0(w)[/tex] }
        = [tex]\infty[/tex] si cet ensemble est vide
  a) Montrer que
     pour toun [tex]\in N^*[/tex] {N>n} = {inf([tex]X_0,X_1,...,X_n) = X_0[/tex]} p.s.
  b) En déduire P{N>n}
     Montrer que N est p.s. finie. Calculer E(N).
3)Soit T la v.a. à valeurs dans [tex]N^*[/tex] -{1} définie par
  T(w) = k ssi [tex]X_1(w) \ge X_2(w) \ge ...\ge X_{k-1}(w)   [/tex]et  [tex]X_{k-1}(w) < X_k(w)[/tex]
  Calculer P[tex](T\ge n)[/tex]
  Montrer que T est p.s. finie
  Calculer E(T) 

Merci d´avance pour votre aide