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freddy · 17-10-2010 17:45:39

Hi,

pour le 2) voilà comment je ferais.

soit [tex]x \in\;Fr(A\cup B) \Rightarrow x \in \overline{A\cup B}\setminus Int(A\cup B) \Rightarrow x \in \overline{A}\setminus Int(A\cup B)\, \text{ou}\, x \in \overline{B}\setminus Int(A\cup B)[/tex].

Ensuite, on "voit" que [tex]x \in \overline{A}\setminus Int(A\cup B)\,\Rightarrow x \in \overline{A}\setminus Int(A)[/tex] puisque [tex] A \subset (A\cup B)[/tex] ; et de la même manière pour la frontière de B.

On a bien le résultat du 2.

Bb

freddy · 17-10-2010 08:44:12

Re,

pour le 3), on sait que l'intérieur de la fermeture de A est un ouvert, puisque par définition, l'intérieur de X est la réunion de tous les ouverts contenu dans X, soit le plus grand ouvert contenu dans X et que la fermeture de X est l'intersection de tous les fermés contenant X.

Donc, puisque A est un ouvert, il est nécessairement inclus dans l'intérieur de la fermeture de A.

je reviens pour le 2) ...

freddy · 16-10-2010 11:29:52

Hello !

I try to help you :-))

Si on se souvient que la frontière d'un ensemble A est le complémentaire de l'intérieur de A dans la fermeture de A, soit formellement :

[tex]x \in Fr\left(A\right) \Leftrightarrow x \in \overline{A}\setminus Int(A)[/tex]

et que la fermeture de [tex]\overline{A}[/tex] est la fermeture de A lui-même, soit

[tex]\overline{\overline{A}}=\overline{A}[/tex]

alors on voit bien que :

[tex]x \in Fr\left(\overline{A}\right) \Rightarrow x \in Fr\left(A\right)[/tex] ce qui établit le 1).

OK ?

freddy · 15-10-2010 21:17:33

Salut imane,

comme Fred est un professeur de l'université, il t'a répondu comme un prof du supérieur l'aurait fait.

Donc si tu as une autre définition d'un espace topologique (avec la notion d'ouvert {quoique la notion de boule convient bien pour un ouvert avec une métrique associée} par exemple), merci de préciser, Fred te répondra.

Va jeter un oeil là : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … logie.html

et là : http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … b&quoi=311

Bb

imane20 · 15-10-2010 18:53:56

Salut Fred. Merci pour votre réponse. mais j aitrouvé un problème car on a pas encore étudier la notion de la boule. si y a une autre méthode sans utiliser la notion de la boule ça sera bien. par exemple en faissant intervenir la notion de l'adhérence ou intérieur déja étudier dans nore cours. Merci encore une fois.

Fred · 10-10-2010 20:52:29

Bonsoir,

Ah, de la topologie. Il faut garder son calme...

1. On va appliquer la définition.
Soit [tex]x\in Fr(\bar A)[/tex]. Alors toute boule de rayon [tex]\varepsilon/2[/tex] centré en x
intersecte [tex]\bar A[/tex] et son complémentaire.
En particulier, elle intersecte le complémentaire de A également.
De plus, soit [tex]y\in \bar A\cap B(x,\varepsilon/2)[/tex]. Puisque [tex]y\in \bar A[/tex], toute boule de rayon
[tex]\varepsilon/2[/tex] de centre y intersecte A.
Mais,
[tex]B(y,\varepsilon/2)\subset B(x,\varepsilon)[/tex], et donc une boule de centre x et de rayon [tex]\varepsilon[/tex] intersecte A.
Ainsi, x est bien un point de la frontière de A.

2. On fait de la même façon. Tu prends x dans [tex]Fr(A\cup B)[/tex] et [tex]\varepsilon>0[/tex].
[tex]B(x,\varepsilon)[/tex] intersecte [tex]A\cup B[/tex]. Si elle intersecte A, prouve que x est dans
[tex]Fr(A)[/tex].

3. Soit [tex]x\in A[/tex]. Alors, puisque A est ouvert, il existe r>0 tel que [tex]B(x,r)\subset A[/tex].
Mais alors, [tex]B(x,r)\subset \bar A[/tex], et donc [tex]x\in Int(\bar A)[/tex].....

Fred.

imane20 · 09-10-2010 23:36:51

Bonsoir tpout le monde....

je suis une nouvelle membre dans ce forum...so j'aimerais que quelqu'un parmi vous m'aide à résoudre cet exercice ...et merci d'avance...

Montrer que:

1-[tex]Fr( \bar A) \subset Fr(A)[/tex]

2-[tex]Fr(A \cup B) \subset Fr(A) \cup Fr(B)[/tex]

3-A est ouvert alors [tex]A \subset Int( \bar A) [/tex]

avec [tex]Int [/tex] l'intérieure de A.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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