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Hello Balustre,

voilà, j'ai trouvé comment exprimer la distribution de probabilité de cette p... de fleur de ..., et montrer la relation de récurrence recherchée. Fichtre, ça faisait un petit moment que ça me prenait la tête et que je l'avais au bout des cheveux ! ...

On passe par la fonction génératrice. On se souvient que [tex]L_1(u)=pu^2+q\;\text{avec}\;p+q=1[/tex] indique que la proba d'avoir 2 fleurs= p, et aucune, q.

En particulier, [tex]U_1=\Pr(X_1=0)=q[/tex].

A l'étape suivante, on a : [tex]L_2(u)=p\times (pu^2+q)^2+q=p\times (p^2u^4+2pqu^2+q^2)+q[/tex]

En particulier, on a [tex]U_2=\Pr(X_2=0)=pq^2+q=p\times U_1^2+q[/tex].

Ensuite, on a : [tex]L_3(u)=p\times (p^2(pu^2+q)^4+2pq(pu^2+q)^2+q^2)+q[/tex]

On a encore [tex]U_3=p\times (p^2q^4+2pq^3+q^2)+q=p\times U_2^2+q[/tex].

and so on ...

Finalement, on a [tex]L_n(u)=p\times L_{n-1}\left(L_{n-2}\left(\cdots\left(L_1\left(u\right)\right)\cdots\right)+q[/tex] et le terme en [tex]U_n=p\times U_{n-1}^2+q[/tex] correspond au coefficient du terme en u de degré 0.

Voilà, j'ai dit, et comme le disait un ex-collègue de l'ISUP, c'est non négociable ;-)))

Qu'en penses tu ? Et comprends tu maintenant pourquoi je n'achetais pas ton raisonnement ?

A te lire,

Freddy

Merci pour la réponse.

edit ; je me suis en effet emmelée les pinceaux avec les indices...

Dans mon raisonnement, à chaque génération n, le système [tex]\{X_n=0, X_n>0\}[/tex] est un système complet d'évènements. En particulier pour [tex]n=1[/tex] (donc la deuxième génération), on obtient alors le système complter [tex]\{X_1=0, X_1=2\}[/tex]... d'où l'équation (en modifiant les indices).

Avec cette correction, le raisonnement me parait bien ok. Par contre, ca me parait un peu plus long que dans mon cas pour faire apparaitre le rapport direct  entre [tex]U_n[/tex] et [tex]U_{n-1}[/tex]...

Malgrè cela, je reste intriguée par le fait que mon raisonnement ne te semble pas correct. Quelle est la partie mise en cause ?

Voilà où je pense que si situe l'erreur dans le raisonnement :

[tex] P(X_{n+1}=0 | X_n > 0)=1-p[/tex].
Pour moi, on ne peut pas calculer de manière si simple cette probabilité conditionnelle car elle dépend du nombre de fleurs à la génération n.

Prenons la deuxième génération : Il y a 0 fleur ou 2. Donc

[tex] P(X_3=0 | X_2>0) =  P(X_3=0 | X_2=2) = (1-p)^2 [/tex]
En effet, il faut que chacune des deux fleurs n'ait pas de descendants, d'où la mise au carré..

Maintenant, pour une génération n quelconque, le nombres de fleurs possibles est encore plus grand [tex]0,2,  \cdots , 2^n[/tex], et suivant le nombre de fleurs, la probabilité [tex] P(X_{n+1}=0 | X_n > 0)[/tex]  sera égale à  [tex]1, (1-p)^2, \cdots , (1-p)^{2n}[/tex] et le calcul en utilisant la formule des probabilités totales avec comme partition [tex]X_n=0[/tex] ou [tex] X_n >0[/tex] ne me parait plus facilement utilisable.

Concernant "mon" raisonnement, avec quelle partie n'es-tu pas ok ?

Bonsoir,

Pour l'énoncé, je pense l'avoir bien compris, mais il faudrait retrouver le post original avec l'énoncé pour être certain.

La variable aléatoire [tex]X_n[/tex] représente le nombre de fleurs à la génération n+1.

Pour passer de [tex]U_{n-1}[/tex] à [tex]U_n[/tex], voilà mon raisonnent :

Je me place à la deuxième génération, il y a soit 0 fleur (avec une probabilité 1-p), soit 2 fleurs (avec une probabilité p).
- Si il y a 0 fleur, alors la probabilité qu'il y en ait toujours 0 à la génération n+1 est de 1 :

[tex] P(X_n=0 | X_2=0) = 1 [/tex]

- Si il y a deux fleurs alors pour chacune de ces fleurs, le nombre de descendants n'est plus de [tex]n+1[/tex] mais de [tex]n[/tex]. Or, à chaque génération, les probabilités qu'une fleur ait 0 ou 2 descendants restent identiques.

Donc [tex]U_{n-1}[/tex] = Probabilité qu'il n'y ait plus de fleurs à la génération [tex]n[/tex] ou encore, probabilité qu'une fleur d'une génération [tex]p[/tex] quelconque n'ait plus de descendants à partir de la génération [tex]n+p-1[/tex].

Donc, pour chacune des deux fleurs de la deuxième génération, il y a une probabilité de [tex]U_n[/tex] qu'il n'y ait plus de descendants à la [tex]n+2-1=n+1[/tex] ieme génération. D'où

[tex] P(X_n=0 | X_2=2) = U_n^2 [/tex]

On arrive alors à la formule demandée par la formule des probabilités totales.

J'espère être claire ;)

Bonsoir,

Je m'excuse sincèrement pour le problème latex causé dans le post initial. Je me suis en effet emmelée les pinceaux entre prévisualiser et envoyer, penssant que la lenteur après prévisualiser provennait de ma connexion et non d'une erreur dans le code, que j'avais testé auparavant...

Dans tous les cas, la solution initilement donnée ne me paraissait pas correcte car elle supposait qu'à l'ordre n, il n'y avait le choix qu'entre 0 ou 1 fleur, alors qu'en fait, il peut y avoir à la (n+1)ieme génération :
[tex] X_n=0,~2~,4~,\cdots~,2^n[/tex]

il est alors plus compliqué de regarder un arbre entre une génération n et la génération suivante.

Il me parait plus simple de regarder le problème de la manière suivante :
- D'une part, la branche issue du cas où il n'y a pas de fleurs dès la deuxième génération. La probabilité de cette branche est alors [tex](1-p) \times 1 \times 1 \times \cdots \times1=1-p[/tex]

-D'autre part, la branche issue du cas où il y a deux fleurs dans la deuxième génération : Pour chacune de ces fleurs, le nombre de déscendants à considérer est donc rabaissé d'une unité ...(on retombe alors sur [tex]U_{n-1}[/tex]... puis sur [tex]p \times U_{n-1}^2[/tex] pour la totalité de la branche).

On a utilisé ici la formule suivante :
[tex]U_n=P(X_n=0 | X_2=0) \times P(X_2=0) + P(X_n=0 | X_2=2) \times P(X_2=2)[/tex]

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Pour résumer, le problème posé était le suivant :
une fleur d'une génération peut engendrer à la génération suivante soit deux fleurs avec la probabilité p; soit aucune avec la probabilité 1 - p ; la génération 1 est constituée d'une fleur et les nombres de descendants de la génération n+1 est noté [tex]X_n[/tex] et [tex]U_n=P(X_n=0) [/tex].

Il faut montrer que [tex]U_{n} = p \times U_{n-1}^2 + 1-p[/tex]