Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

  Effectivement, on cherche le développement en série de Laurent....

[tex]\sin(1/z)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{-(2n+1)}[/tex]
[tex]\frac{1}{1+z^2}=\sum_{p\geq 0}(-1)^p z^{2p}[/tex]

Et donc

[tex]\frac{sin(1/z)}{1+z^2}=\sum_{n,p\geq 0}\frac{(-1)^n(-1)^p}{(2n+1)!}z^{-(2n+1)+2p}[/tex]

On cherche le coefficient devant 1/z, c'est-à-dire celui pour lequel -(2n+1)+2p=-1, soit encore p=n.
Le résidu de ta fonction est donc (aux erreurs de calcul près!)

[tex]\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^{n+n}}{(2n+1)!}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(2n+1)!}[/tex]

On peut encore calculer cette dernière somme qui fait sh(1).

Fred.