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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- freddy
- 06-06-2010 21:39:43
Hello,
you're welcome !
- nahel
- 06-06-2010 19:34:03
Merci vraiment pour ton aide :)
- freddy
- 04-06-2010 22:09:21
Re,
On voit facilement que T=Min(T1, T2). Pour déterminer sa loi, il faut faire un petit calcul.
[tex]\forall k \in \N^*,\;\Pr(T=k)=\Pr(T_1=k)\times \Pr(T_2 > k) + \Pr(T_1 > k)\times \Pr(T_2 = k) + \Pr(T_1=k)\times \Pr(T_2 = k) [/tex]
[tex]=2p(1-p)^{k-1}(1-p)^k+\left((1-p)^{k-1}p\right)^2 [/tex]
soit, après avoir remarqué le début d'un carré puis la différence de deux carrés :
[tex]\Pr(T=k)=p(2-p)(1-p)^{2(k-1)}=\left(1-(1-p)^2^\right)(1-p)^{2(k-1)}[/tex]
ce qui finit d'établir que T suit une loi géométrique de paramètre [tex](1-p)^{2}[/tex]
Bis bald
- freddy
- 04-06-2010 20:19:24
Salut !
joli petit sujet de loi de temps d'attente.
Eu égard à l'énoncé, je fais l'hypothèse que le temps est discret.
T1 (comme d'ailleurs T2) suit une loi géométrique, puisque [tex]\Pr(T_1=k)=\left(1-p\right)^{k-1}p[/tex]
En effet, s'il faut attendre le kième lancer pour avoir le premier Pile suppose que les (k-1) lancers précédents ont donné Face.
T2 suit la même loi que T1 car on a fait hypothèse d'indépendance des lancers.
[tex]\Pr(T_1 \geq T_2/T_2 =k)=\Pr(T_1 \geq k)=p\left(1-p\right)^{k-1}\sum_{t=0}^{+\infty}\left(1-p\right)^t=\left(1-p\right)^{k-1}[/tex] puisque les deux va sont indépendantes.
On en déduit que [tex]\Pr(T_1 \geq T_2)=\sum_{k=1}^{+\infty}\Pr(T_1 \geq T_2/T_2 =k)\times \Pr(T_2 =k)=\sum_{k=1}^{+\infty}(1-p)^{k-1}(1-p)^{k-1}p=\frac{p}{1-\left(1-p\right)^2}[/tex]
Bon, je reviens finir ...
- yoshi
- 04-06-2010 18:15:18
Bonjour,
Rappel des règles en vigueur sur ce forum :
http://www.bibmath.net/forums/misc.php?action=rules
Je vous en enjoins cordialement de prendre le temps de les lire.
Merci d'avance,
Comptant sur votre compréhension,
Yoshi
- Modérateur -
- nahel
- 04-06-2010 17:37:11
Bonjour,
cet exercice est tiré d'un examen d'introductions aux probabilités qui me donne bien trop de mal, merci d'avance pour vos solutions (ou indications faute de mieux...)
A chaque instant n>0, deux amis lancent en même temps une pièce de monnaie. Tous les lancers considérés sont indépendants. Les pièces utilisées tombent sur pile avec une probabilité p, tel que 0<p<1.
On note T1 le moment où le premier obtient pile pour la première fois, et
T2 le moment où le second obtient pile pour le première fois.
On note T le moment où l'un des deux amis (au moins) obtient pile pour la première fois.
1. quelles sont les lois de T1 et T2? justifier.
2. soit k un entier, k>0. Que vaut P( T1>=T2 | T2=k )?
3. en déduire que
P( T1>=T2)=p/(1-(1-p)²)
4. exprimez T en fonction de T1 et T2
5. montrez que T a une loi géométrique, précisez son paramètre
Nahel.