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Poaulo · 01-06-2010 19:09:49

Ok ! Merci !

essai · 01-06-2010 13:13:00

Ah oui, pardon, là il faut faire la même chose en limite à droite de a pour avoir la vraie continuité mais ça marche pareil !

essai · 01-06-2010 13:10:20

Pour la limite monotone c'est vrai que c'est beaucoup plus rapide et moins prise de tête, mais bon faut y penser (ce qui ne m'était pas arrivé !!).

Alors tu suppose que f(I) est un intervalle.
Soit a dans I, il faut montrer que f est continue en a.
Si on prend I=[x,y], comme f est strictement croissante sur [x,a], d'après le théo de la limite monotone on sait que f(t) admet une limite quand t tend vers a par valeur inférieure (encore une fois ici on prend a dans l'intérieur de I, les cas extrêmes étant traités pareil).
D'où :

[tex]\exists l \in R, \forall \epsilon >0,\exists \eta >0, |t-a|<\eta \implies |f(t)-l|<\epsilon[/tex]

Soit alors [tex]\epsilon > 0[/tex], et on le prend tel que [tex][f(a)-\epsilon/2,f(a)+\epsilon/2][/tex] soit dans f(I) (possible car f(I) intervalle). Dès lors, comme f est croissante : [tex]\exists y \in I, \forall t \in [y,a], f(t) \in [f(a)-\epsilon/2,f(a)+\epsilon/2][/tex]

Dès lors, pour [tex]\eta[/tex] associé à [tex]\epsilon/2[/tex]et pour [tex]|t-a|<\eta[/tex] et t dans [y,a],

[tex]|l-f(a)| \leq |l-f(t)| + |f(t)-f(a)|\leq \epsilon[/tex] et ceci pour tout [tex]\epsilon[/tex] aussi petit qu'on veut.Donc l= f(a) et f est continue en a.

Je crois que ça marche...

Poaulo · 01-06-2010 12:38:03

Ok ! Penses-tu pouvoir m'aider avec le théorème de la limite monotone ?

essai · 01-06-2010 11:46:15

re,
Désolé Poaulo si je n'ai pas été très clair, j'ai fait du mieux que j'ai pu...
Boaf, c'est pas grave, ma réponse est en réalité en tous points la tienne sauf que je reste centré en a (alors que toi tu pars en f(x)-f(y) et tu ne peux pas conclure...) et je montre que si f n'est pas continue il y a un trou à gauche ou à droite de a nécessairement.
Je viens ainsi tempérer la réponse de Freddy qui annonçait un trou symétrique autour de a. En soit c'est pas très important vu que ton raisonnement, je le reprends. C'est juste que les petites précisions que j'apporte rend juste ta démo vraie alors que pour l'instant un prof peut te trouver des contre-exemple...

Ok, c'est du pinaillage mais si tu passes des concours ils sont très pointilleux... Mais bon, les idées étaient là, je n'ai fait qu'arrondir les angles !

Poaulo · 01-06-2010 11:11:05

Je suis désolé, mais j'ai pas trop compris l'intervention de essai. Sinon, il y a aussi une démonstration avec le théorème de la limite monotone (et elle se fait alors directement, sans l'absurde), mais je ne l'ai pas trop comprise.

freddy · 01-06-2010 10:51:45

Re,

Je suis d'accord sur la non symétrie, mais quand on est au bord du trou, on n'est pas loin d'y tomber ! :-)

On parlera d'une fonction semi continue supérieurement ou semi continue inférieurement (en clair, continue seulement à droite ou a gauche du point a).

Dura Lex, sed Lex !

essai · 01-06-2010 10:36:19

Bonjour,

Freddy je suis d'accord que avec le raisonnement donné par Poaulo ta conclusion avec les voisinages est bonne puisque r est fixe (il vaut [tex]\epsilon[/tex]).
Le seul hic c'est que je crois qu'il y a une erreur dans le raisonnement de Poaulo...Et cela fait que si le r existe, il n'est pas fixe, en général, et la borne inférieure de ces r est 0... Et peut-être que le trou dans l'intervalle n'est que d'un seul côté, et non une boule centrée. de plus, là Poaulo se place comme si f(a) était dans l'intérieur de f(I) alors que pas nécessairement...

Le problème c'est que tu prend x et y mais tu ne les prends pas quelconques puisque tu considères que a est dans [x,y] (ça ne pose pas de problème réel puisque il nous suffit de trouver qu'il y a un point dans f(I) tel qu'autour de lui il n'y a aucun point de f(I) donc un seul exemple suffit) et enfin, quand [tex]|z-a|<\eta[/tex] alors ça n'entraîne pas que x<z<y... Prends par exemple a=(3,0), x=(0,0) et y=(1,0). Alors [tex]\eta = 2[/tex] et si z=(4.0) on a bien tes conditions mais x<y<z !

Mais je pense que la contraposition est une bonne idée et que, effectivement, tes idées sont pas loin d'aboutir, je vais essayer d'y réfléchir...

(plusieurs mn plus tard)

(...)

Ok, j'allais m'embrouiller et je viens de me faire avoir comme je disais avant. Il faut faire attention car le trou en f(a) n'est pas nécessairement bilatéral !!

Donc on va faire un raisonnement par l'absurde (dans notre raisonnement par l'absurde) et considérer qu'il n'y a de trou d'aucun côté de f(a). Donc il existe : [tex]y_1,y_2 \in I, 0<f(a)-f(y_1)<\epsilon et 0<f(y_2)-f(a)<\epsilon[/tex]
Comme f est strictement croissante on a donc [tex]y_1<a<y_2[/tex]. Là on pose [tex]\eta =min(a-y_1,y_2-a)[/tex] et on considère le z de notre hypothèse d'absurdité. Donc z est dans [y_1,y_2]
Si [tex]y_1<z<a<y_2[/tex] alors [tex]f(a)-f(y_1)>f(a)-f(z)>\epsilon[/tex] absurde
Si [tex]y_1<a<z<y_2[/tex] alors [tex]f(z)-f(a)<f(y_2)-f(a)<\epsilon[/tex] absurde

Donc il ne peut exister [tex]f(y_1)[/tex] ET [tex]f(y_2)[/tex] et donc f(I) n'est pas un intervalle puisque autour de a il y a un problème !

Il faut aussi voir que là j'ai considérer f(a) dans l'intérieur de f(I) puisque je considère les 2 côtés autour de f(a). Si f(a) est sur le bord de f(I) alors si on est dans le cas [f(a),...| comme f est croissante on a egalement I=[a,...| et quand on prend [tex]y_2[/tex] on se retrouve avec [tex]a<z<y_2[/tex] et on retrouve l'absurdité et si on est dans le cas |...,f(a)] c'est avec [tex]y_1[/tex] que l'on s'en sort.

Ouf, pas tranquillou... Je vais voir s'il n'y avait pas une méthode plus directe parce que celle-là elle est pas évidente car il faut faire assez gaffe : les trous ne sont pas nécessairement symétrique et donc il faut considérer aussi les bords...

J'espère que mes explications étaient assez claires..

Poaulo · 01-06-2010 09:48:17

Merci bien, en effet, je crois que c'est ok !

freddy · 01-06-2010 05:56:55

Re,

je ne comprends pas bien : tu fais l'hypothèse que f est discontinue en a. Tu en déduis alors que, par définition, quel que soit x aussi proche de a soit il, f(x) restera à une certaine distance de f(a). Donc f(I) a bien un "trou", il est bien constitué de deux ensembles disjoints.

En langage formel, quand x parcourt [tex]I=[p,a]\cup [a,q][/tex], alors f(x) parcourt [tex][f(p), f(a)-r]\cup [f(a)+r, f(q)],\;r > 0[/tex].

Et r existe car f est discontinue en a.

Qu'en penses tu ?

Poaulo · 31-05-2010 23:19:51

Peut-être as-tu quelque chose à me proposer ? Je ne vois pas trop pourquoi raisonner avec des voisinages simplifie la preuve.

freddy · 31-05-2010 22:39:16

Salut,

peut être gagnerais tu à raisonner en termes de voisinage, non ?

Et là, je pense que tu auras ta preuve.

Bb

Poaulo · 31-05-2010 20:30:02

Bonsoir,

je cherche à montrer la chose suivante : si I est un intervalle non réduit à un point, [tex]f : I \to \mathbb{R}[/tex] strictement monotone (par exemple strictement croissante) alors f est continue sur I si et seulement si [tex]f(I)[/tex] est un intervalle.
Le sens direct est le corollaire du T.V.I, la démonstration est O.K.
Le sens indirect est plus délicat. Je vais raisonner par contraposition et donc prouver que si f n'est pas continue sur I alors f(I) n'est pas un intervalle.
Donc [tex]\exists a\in I\,,\exists\epsilon>0\,,\forall\eta>0\,,\exists z\in I\,,|z-a|<\eta\,\,et\,\,|f(z)-f(a)|\ge\epsilon[/tex].
Soient [tex](x,y)\in I^2[/tex] tels que [tex]x<y[/tex]. On fixe [tex]\eta=min\{|x-a|,|y-a|\}[/tex]. Alors pour ce [tex]\eta[/tex], on a [tex]|z-a|<\eta \Rightarrow x<z<y[/tex] (z est plus proche de a que x et y) et vu que f est strictement croissante - par exemple - on a [tex]f(x)<f(z)<f(y)[/tex].

On va supposer dans un premier temps que [tex]x<z<a<y[/tex], l'autre cas (i.e. [tex]x<a<z<y[/tex]) se traite de manière analogue je pense !
J'en déduis [tex]f(a)-f(x)>f(a)-f(z)=|f(z)-f(a)|\ge\epsilon[/tex] (on a bien [tex]f(a)-f(z)=|f(z)-f(a)|[/tex] car [tex]z<a[/tex] par supposition et car f strictement croissante).
J'en déduis aussi [tex]f(x)<f(a)<f(y)[/tex] et donc [tex]f(a)-f(x)<f(y)-f(x)[/tex].

Au finale, [tex]f(y)-f(x)>f(a)-f(x)>\epsilon[/tex] donc [tex]f(y)-f(x)>\epsilon[/tex]. J'ai du mal à conclure qu'alors f(I) n'est pas un intervalle, pourtant je sens que j'y suis :(

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