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Merci pour ta vérification et de ton aide ,enfaite ma seconde question est en relation avec ma première question ,
enfaite on me demande de deduire une seconde methode d'estimation de  [tex]S\left(k\right)=P\left(X\geq K\right)[/tex]   , on me dis  [tex]{N}_{k}=\sum^{n}_{i=1}I{\,{X}_{i}\geq k}[/tex] et de deduire la loi de la variable aléatoire de  [tex]{N}_{k}[/tex]  pour moi la loi a l'évidence est une loi binomial ! et de la on me demande de trouver un second estimateur de S(k) ! faut il que je parte de la loi binomial en utilisant S(k)=P( X>k) pour trouver ce second estimateur ?
Cordialement .

saut, ah ok je vois pour la notation je vais écrire autrement j'espère que sa sera bouclé !lol

[tex]{S}_{n}\left(k\right)=1\,-\,{F}_{n}\left(k\right)[/tex]

[tex]E\left({S}_{n}\left(k\right)\right)=1\,-\,E\left(\sum^{n}_{i=1}I\left[\frac{{N}_{i}\leq k}{n}\right]\right)=1\,-\,\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}E\left(I\left({N}_{i}\leq k\right)\right)=1\,-\,P\left(N\leq k\right)=1\,-\,F\left(k\right)[/tex]

[tex]E\left({S}_{n}\left(k\right)\right)=1\,-\,F\left(k\right)=1\,-\,\left(1-{\left(1p\right)}^{k}\right)={\left(1-p\right)}^{k}[/tex]

si cela est correct pourrais je encore solliciter ton aide pour une autre question ?

Salut,j'espère que l'escalade a était bonne il y en qui ont de la chance !mdr,
je pense qu'il faut réécrire l'estimateur autrement ,enfin si je  ne me trompe pas !

[tex]{S}_{n}\left(k\right)=\,1\,\,-\,\,\frac{1}{n}\sum^{k}_{i=1}I{{N}_{i}\leq k}[/tex]

car comme ca on peux écrire l'expression de l'espérance de cette manière là :

[tex]E\left({S}_{n}\left(k\right)\right)=1\,-\,\,E\left(\frac{1}{n}\sum^{k}_{i=1}I{{N}_{i}\leq k}\right)=1\,-\,E\left(P\left(N\leq k\right)\right)=1-F\left(k\right)=1-\left(1-\left(1-p{)}^{k}\right)\right)={\left(1-p\right)}^{k}[/tex]

et pour la variance :

[tex]V\left({S}_{n}\left(k\right)\right)=\frac{V\left({F}_{n}\left(k\right)\right)}{n}=\frac{F\left(k\right)\left(1-F\left(k\right)\right)}{n}[/tex]

j'espère que c'est ok!

je suis d'accord pour l'estimateur ok c'est  [tex]S\left(k\right)=1\,-\,\sum^{n}_{k=1}\frac{{n}_{k}}{n}[/tex]
bien entendu  [tex]{n}_{k}[/tex]  est une variable aléatoire ! mais ou je pige pas et j'arrive pas a le demontrer c'est que si c'est la bonne expression de l'estimateur on devrais tomber sur ca :

[tex]S\left(k\right)\,\,\,-\,\,E\left({S}_{n}\left(k\right)\right)=0[/tex]

pour avoir un biais egale à o or c'est tout le problème mais je vais chercher j'espére pas dans le vide !
encore merci !

Salut, tes explications m'ont permit de mieux voir les choses cependant j'ai du mal a trouver un estimateur !enfin bon je pense en avoir trouver un ,dis moi ce que tu en pense si cela ne te dérange pas !

[tex]{S}_{n}\left(K\right)=1\,-\,\sum^{k}_{n=1}\frac{\left(1-{p}_{n}\right)}{n}[/tex]

soit  [tex]E\left({S}_{n}\left(k\right)\right)=1\,-\,E\left(\sum^{k}_{n=1}\frac{\left(1-{p}_{n}\right)}{n}\right)=1\,-\,E\left(\left(1-p\right)\right)=1\,-\,\left(1-p\right)\sum^{k}_{n=1}p{\left(1-p\right)}^{n-1}=1\,-\,\sum^{k}_{n=0}p{\left(1-p\right)}^{n}[/tex]

[tex]E\left({S}_{n}\left(k)\right)\right)=1\,-\,p\sum^{k}_{n=1}\,{{\left(1-p\right)}_{}}^{n}=1\,-\,p.\frac{1\,-\,{\left(1-p)\right)}^{k}}{1-\left(1-p)\right)}=1\,-\,p.\frac{1\,-\,{\left(1-p)\right)}^{k}}{p}=1-\,1\,+\,{\left(1\,-\,p\right)}^{k}=\,{\left(1\,-\,p)\right)}^{k}[/tex]

j'attend tres vites tes commentaires en tout cas je te remercie de m'aider !

si je reprend l'expression j'obtiens pour l'espérance et la variance les expressions suivantes :

[tex]E\left({S}_{k}\right)=E\left(1\,-\,{F}_{k}\right)=\,1\,-\,E\left(\sum^{n}_{i=1}\frac{{K}_{i}}{n}\right)=1\,-\,E\left(K\right)=\,1-\,\frac{1}{p}[/tex]

[tex]V\left({S}_{k}\right)=V\left(1\,-\,{F}_{k}\right)=\,\frac{V\left(K\right)}{n}=\,\frac{1-p}{n{p}^{2}}[/tex]

est tu d'accord ? pour la variance on montre ainsi que l'estimateur est convergent !

Ok