Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Un formateur de prof m'a rassuré qu'il s'agit bien d'un polynôme de Tchebychev du degré n du première espèce. Il m'a reformulé différemment la question: ses étapes sont les suivantes:
Exprimer [tex]\cos n\theta[/tex] comme une fonction polynomiale de [tex]\cos \theta[/tex] En déduire l'existence d'un polynôme [tex]{P}_{n}\left(X\right)[/tex] unitaire de degré n tel que [tex]\forall \,z\in \mathbb{C}\,\left|z\right|=1\,:\,{z}^{n}+{z}^{-n}={P}_{n}\left(z+{z}^{-1}\right)[/tex]
En utilisant la formule du binôme de Newton, comme je l'avais fait, il arrive donc à ceci:
[tex]{z}^{n}+{z}^{-n}=2{Q}_{n}\left(\frac{z+{z}^{-1}}{2}\right)={P}_{n}\left(z+{z}^{-1}\right)\Rightarrow {P}_{n}\left(X\right)=\frac{1}{{2}^{n-1}}\sum^{}_{p=0}{\left(-1\right)}^{p}{C}^{2p}_{n}{X}^{n-2p}{\left(4-{X}^{2}\right)}^{p}[/tex]
De l'équation (Eq) [tex]\cos \left(n+1\right)x+\cos \left(n-1\right)x=2\cos x\cos nx\,\Rightarrow {P}_{n+1}\left(X\right)+{P}_{n-1}\left(X\right)={P}_{1}\left(X\right){P}_{n}\left(X\right)[/tex]
C'est génial! Qu'en pensez-vous? En fait, la grosse difficulté était plutôt l'énoncé ambiguë!
Valentin

Bien vu l'aveugle !!!

C'est Valentin qui va être content.

Par contre, je ne comprends pas bien le

Si tu pouvais expliciter ta pensée (pour l'ami Valentin, ça devrait le troubler, comme moi).

Bis bald

Re,

désolé Valentin, mais thadrien a raison : on peut avoir une somme de termes dans Q sans que chaque terme soit dans Q.

Donc, peut on écrire :  [tex]\cos\theta+\sin\theta \in \Q \Rightarrow \cos^n\theta+\sin^n\theta \in \Q\;[/tex] ?

Je ne sais pas, faut encore chercher soit le contre exemple, soit la preuve irréfutable. Je m'étais mis un schéma en tête que je n'ai pas pris vraiment le temps de vérifier. j'essaie de trouver une autre piste ...

Salut !

Salut Freddy,
Puisque tu es arrivé à  [tex]\cos \theta \sin \theta =\frac{p-q}{2q}\times\frac{p+q}{q}\,\forall q\in {\mathbb{Z}}^*[/tex]
Est-ce que cela peut revenir à dire que  [tex]\cos \theta =\frac{p-q}{2q}\,et\,\sin \theta =\frac{p+q}{q}[/tex] ou inversement ?
Et dans cette condition, comme  [tex]\left(p,q\right)\in \mathbb{Z}\*{\mathbb{Z}}^* \cos \theta =\frac{p-q}{2q}=\frac{1}{2}\left(\frac{p}{q}-1\right)\in \mathbb{Q}[/tex] et [tex]\sin \theta =\frac{p+q}{q}=1+\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}[/tex] ce qui achève la démonstration!
Valentin

Salut,

@thadrien : je crois que tu n'as pas le droit de me fournir un contre exemple qui ne démontre pas que j'ai fait une erreur. En effet, j'ai dit que si on pouvait trouver un tel angle, alors il existait p et q(>0) entier relatif.

Or tu prends q=1 et p=racine(2) qui n'est pas dans Z, me semble t-il ?!!!

Idem pour le second exemple !

Qu'en penses tu ?

Freddy

PS : cela étant, je regarde encore, car j'ai toujours un doute ... Si qqu'un peut apporter son grain de sel ? Fred ? Yoshi ?

Salut,

Contre-exemple : [tex]\theta = - \frac{\pi}{4}[/tex]. [tex]cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] et [tex]sin(\theta) = - \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. La somme des deux est dans [tex]\Q[/tex], mais pas chacun d'eux pris séparément.

Bis bald.

Hello,

OK pour l'exemple mais [tex]1+\sqrt2 > \cos x,\;\forall x \in \R[/tex] donc pas dans le champ du pb de Valentin.

La démonstration est la suivante, sauf erreur :

supposons qu'on trouve un angle [tex]\theta[/tex] tq [tex]\cos\theta + \sin\theta \in \Q[/tex],

alors il existe [tex](p, q) \in \Z\times \Z^*[/tex]  tq [tex]\cos\theta + \sin\theta=\frac{p}{q}[/tex]

On a alors [tex]\frac{p^2}{q^2}=1+2\sin\theta\cos\theta \ssi \sin\theta\cos\theta=\frac{1}{2}\frac{(p-q)}{q}\times \frac{(p+q)}{q} \in \Q[/tex] ce qui nous assure que [tex]\cos\theta \in \Q\;et\;\sin\theta  \in \Q[/tex].

Donc on est sûr que [tex]\cos^n\theta + \sin^n\theta \in \Q[/tex]

Bb