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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- thadrien
- 01-05-2010 07:39:19
Salut,
C'est ça. Mais, pour être plus sûr, relis ton cours sur les racines n-ièmes de l'unité.
- sphinx67
- 30-04-2010 22:12:39
Si j ai bien compris, les 2n racines de 1=exp(2i*k*pi) s 'écrivent exp(2*i*k*pi/(2*n))=exp(i*k*pi/n) ok.....ça roule
Champagne!
- sphinx67
- 30-04-2010 21:59:19
bonjour!
je vais lire vos cogitations d un peu plus près. En effet ça ne semble pas si compliqué, les polynômes pour moi c est du siècle dernier...donc besoin d un peu de rafrachissement.
Merci à tous et à thadrien pour cette précieuse info,
a+
- thadrien
- 28-04-2010 18:28:25
Ensuite, on remarque que [tex]x^{2n}-1 = \prod^{2n-1}_{k=0}\left(x-e^{\frac{ik\pi}{n}\right)[/tex].
Pour démontrer ce point :
1) Les deux polynômes ont même degré 2n.
2) Ils ont 2n racines communes.
Donc, ils sont égaux à un facteur multiplicatif près.
3) Ils ont le même coefficient devant x^2n.
Donc, ils sont égaux.
Et encore merci à Fred pour l'astuce !
- freddy
- 28-04-2010 15:38:37
Salut,
c'est pourtant assez simple à faire, regarde :
[tex]\prod^n_{k=1}\left(x-e^{\frac{ik\pi}{n}}\right)\prod^{2n-1}_{k=n}\left(x-e^{\frac{ik\pi}{n}}\right)[/tex]
Or le terme [tex]\prod^n_{k=1}\left(x-e^{\frac{ik\pi}{n}}\right)=\frac{1}{x-1}\times \prod^{n}_{k=0}\left(x-e^{\frac{ik\pi}{n}}\right)[/tex] puisque en partant de k=0, on ajoute le terme en [tex]x-1[/tex].
De plus, pour k=n, on a deux fois le terme [tex]x+1[/tex].
Donc, pour avoir l'écriture de k parcourant l'ensemble des entiers de 0 à 2n-1, il faut bien factoriser par le quotient [tex]\frac{x+1}{x-1}[/tex].
Ensuite, on remarque que [tex]x^{2n}-1 = \prod^{2n-1}_{k=0}\left(x-e^{\frac{ik\pi}{n}\right)[/tex].
D'où la réponse du texte :
[tex]\prod^n_{k=1}\left(x-e^{\frac{ik\pi}{n}}\right)\left(x-e^{-\frac{ik\pi}{n}}\right)=\frac{x+1}{x-1}\times \left(x^{2n}-1\right)[/tex] et on dit un grand merci à Fred pour l'astucieuse astuce.
Bb
- sphinx67
- 21-04-2010 11:39:31
recoucou
j ai essayé ton changement d'indice, il semble encore compliquer le schmilblic, ou alors quelque chose m a échappé. Il est 12h40 bon ap
a+
- sphinx67
- 21-04-2010 06:43:55
Salut Fred,
après vérification c est (x^2n)-1 * (x+1)/(x-1) qu'on devrait trouver, en attendant je poursuis mes investigations.
Merci pour tes pistes.
Bonnes Pâques à tous.
- Fred
- 20-04-2010 21:41:39
Salut,
Voici une piste pour démarrer.
Tu commences par considérer à part le produit :
[tex]\prod_{k=1}^n \left(x-e^{\frac{-ik\pi}{n}}\right)[/tex]
et tu fais le changement d'indice [tex]l=2n-k[/tex]
Tu trouves
[tex]\prod_{l=n}^{2n-1}\left(x-e^{\frac{il\pi}{n}}\right)[/tex]
En regroupant avec le premier produit, on n'est plus très loin du résultat que tu as deviné....
Fred.
- freddy
- 20-04-2010 21:13:25
Salut,
si tu ne codes pas en Latex, on risque de confusionner encore plus grave ...
J'essaie :
[tex]\prod^{n}_{k=1}\left(x-{e}^{\frac{ik\pi }{n}}\right)\left(x-{e}^{-\frac{ik\pi }{n}}\right)[/tex]
Voilà, je cherche la suite ...
- sphinx67
- 20-04-2010 20:51:47
Bonjour à tous!
Je cherche à calculer le produit suivant :
produit pour k=1 à n de : (x-exp(i*k*pi)/n)*(x-exp(-i*k*pi)/n),
en m inspirant de : produit de pour k=0 à n-1 de : (x-exp(i*2*k*pi/n))= (x^n)-1, j essaie de trouver la réponse ..mais ça devient assez compliqué.
après Calculs, on devrait trouver (x^2*n)-1 * (x-1)/(x+1) mais je ne vois pas comment y arriver....confusion dans k=0 à n+1.. k=1 à n..etc..
Merci