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nabil10
21-04-2010 06:53:28

salut roro

OK je vais jeter un œil

Roro
20-04-2010 20:29:32

Bonsoir,

Jette un coup d'oeil à l'inégalité de Poincaré (ou plus exactement celle de Poincaré-Wirtinger) qui correspond à ce que tu recherches et dont une démonstration peut se faire sans parler de série de Fourier (elle se généralise ainsi à des fonctions de plusieurs variables définies sur un ouvert assez général).

L'idée de la démonstration est d'utiliser l'égalité :
[tex]f(x) = \int_a^x f'(y) dy[/tex]
où [tex]a[/tex] est un point tel que [tex]f(a)=0[/tex], puis d'utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour majorer [tex]\int_0^{\pi} f(x)^2 dx[/tex]...

Roro.

nabil10
19-04-2010 11:45:01

bonjour jj


merci pour l'aide; et si c'était pas lié sur les série de fourrier , est il possible de démontrer...????




nab

JJ
19-04-2010 11:21:03

il faut lire partout > ou =
pour étendre la validité de l'écriture pour n=1, ainsi que dans les cas de coefficients nuls.

JJ
19-04-2010 10:59:51

f(x) = Ao+Sigma (An.cos(n.x))  pour n=1 à infini
Ao = 0 car Somme f(x)dx  pour x=0 à pi
Parceval : Somme f²dx = (pi/2)Sigma((An)²)  car Ao=0

g(x) = df/dx = Sigma (-n.An.sin(n.x))
Parceval : Somme g²dx = (pi/2)Sigma((n.An)²)

n>1 donc n²An² > An²
donc Sigma((n.An)²) > Sigma((An)²)
Somme (df/dx)²dx > Somme f²dx

nabil10
19-04-2010 08:43:08

salut jj

oui c exact, mais j'arrive pas...

JJ
18-04-2010 14:41:13

Salut nabil10

Par hasard, est-ce que ce problème est posé à l'occasion d'une leçon sur les séries de Fourier ?
Parce qu'avec une décomposition en série de Fourier et la relation de Parseval, la démonstration est ultra simple ...

nabil10
18-04-2010 08:44:38

bonjour!

soit une fonction continue sur [tex][0;\pi][/tex] et admettant une derivée dont le carré est integrable sur [tex][0;\pi][/tex].
montrer que si [tex]\int_0^{\pi}f(x)\;dx=0[/tex],

alors

                               [tex]\int_0^{\pi}(f(x))^2\;dx\leqslant\int_0^{\pi}(f'(x))^2\;dx[/tex]

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