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Blutz · 27-03-2010 16:30:39

Merci pour l'aide. :)

yoshi · 20-03-2010 21:00:32

Bonsoir Blutz,

Et bienvenue sur BibM@th...
La seule démonstration qui m'est connue est celle-ci :
Soient ABC et DEF deux triangles tels que AB = DE, AC = EF et BC = DF.
Plaçons D sur B, F sur C et E de l'autre côté de A par rapport à (BC). D = B et F = C.
Je n'utiliserai donc plus que les lettres A, B, C, E.
Les points B et C sont donc équidistants de A et E, par conséquent (BC) est la médiatrice de [AE]...
Par définition les points A et E sont donc symétriques par rapport à (BC) et donc les triangles BAC et BEC le sont aussi.
Donc, on a : et le 3e suit... ce qui te ramène aux cas n° 1 ou 2 au choix.
On peut aussi passer par ABE et ACE isocèles.
Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base est aussi bissectrice de l'angle au sommet :
...

Ca te va ?
Sinon en plus savant, on peut passer par le théorème d'Al Kashi :

D'où

De même :

Dans ces triangles, à cosinus égaux, angles égaux...

@+

PS : J'ai cherché à quel niveau, j'ai bien pu apprendre la démo par symétrie...
A défaut de remettre la main sur les bouquins du lycéen 4e et 3e que j'ai été, j'ai retrouvé celui qui s'appellait :

Géométrie 2nde
Par C. Lebossé et C. Hémery Ed. Nathan
Pour Seconde A', C, M et M'
Programme 1960 (!)
Dépôt légal 1er trimestre 1962

Voilà qui me rajeunit... ;-)

PS2
Je m'obstine et je tombe sur les mêmes Lebossé & Hémery mais programme de ... 5e (1957), dans lequel figure, traité bien après les deux premiers, dans un chapitre qui suit les triangles isocèles et la symétrie la démonstration du 3e cas d'égalité !!!

Blutz · 20-03-2010 16:26:20

Bonjour

Lors d'un cours sur la géométrie affine, notre prof a été amené a énoncé un théorème sur le cas d'égalité des triangles.
A savoir :
Soient deux triangles du plan euclidien, pour qu'il existe une isométrie transformant l'un en l'autre il faut que une des conditions ci dessous soit vérifié:
i) un angle égale entre deux cotés égaux
ii) un coté égale entre deux angle égaux
iii) trois cotés égaux

( Rq : le théorème n'est pas énoncé très correctement mais je pense que tout le monde comprend ce que je veux dire ...)

La démonstration de ce théorème consiste à démontrer le premier cas d'égalité, puis à se ramener à celui ci pour les autres cas

Je saisis bien sa preuve pour i et ii mais je trouve sa preuve pour iii un peu alambiqué et je me demandais si quelqu'un saurait comment montrer simplement que si on a trois côté qui sont égaux alors forcément l'un des angles sera égale à l'autre qui lui correspond das l'autre triangle.

J'ai essayer de le démontrer à l'aide d'une projection orthogonale, qu'un des angles ne dépendait que des paramètres de taille des cotés ... sans succès ...

Si il y avait une âme charitable muni d'une démonstration agréable de ce dernier cas, je serais très heureux qu'il la communique :)

Merci d'avance

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