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Poaulo · 22-03-2010 23:26:22

Merci beaucoup pour votre aide Fred.

Poaulo · 22-03-2010 23:20:41

Merci infiniment Fred.

Fred · 22-03-2010 21:38:40

Tu y est presque il me semble. Tu peux écrire, par l'inégalité des accroissements finis,
[tex]f''(x_i+c_i)=f''(x_i)+M_i[/tex] où [tex]|M_i|\leq C c_i\leq \frac{C'}{n}[/tex],
[tex]C[/tex] correspond à [tex]\sup f^{(3)}[/tex].

Mais d'une part [tex]\frac{h^3}6\sum_{i=0}^{n-1}{f''(x_i)}=\frac{(b-a)^2}{6n^2}\frac{(b-a)}n\sum_{i=0}^{n-1}f''(x_i)[/tex]
et [tex]\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1}f''(x_i)\to\int_a^b f''(t)dt.[/tex]

Cette première somme se comporte bien en [tex]A/n^2[/tex].

D'autre part,

[tex]\left|\sum_{i=0}^{n-1} M_i\right|\leq C'[/tex] ce qui prouve
que
[tex]\frac{h^3}6\sum_{i=0}^{n-1}M_i=o(1/n^2)[/tex]
(c'est même [tex]O(1/n^3)[/tex]).

Enfin, la somme [tex]\rac{h^3}6\sum_{i=0}^{n-1}f'''(x_i+c_i)c_i[/tex]
se traite exactement comme celle avec les [tex]M_i[/tex],
l'important étant que f''' est bornée et que [tex]c_i[/tex] est majoré par 1/n.

A+
Fred.

Poaulo · 22-03-2010 18:13:17

En fait, pour obtenir la majoration [tex]\rm |I-T_n|\le M_2\frac{(b-a)^3}{12n^2}[/tex], on avait étudié la fonction [tex]\rm \Delta_i(h)=\frac{f(x_i)+f(x_i+h)}{2}h-\int_{x_i}^{x_i+h}f(t)dt[/tex], car [tex]\rm T_n-I= \sum_{i=0}^{n-1}\Delta_i(h)[/tex].
En avait vu que :
[tex]\rm\Delta_i(0)=0[/tex]
[tex]\rm\Delta_i'(h)=\frac{f'(x_i+h)h}{2}+\frac{f(x_i)}{2}-\frac{f(x_i+h)}{2}[/tex] et donc [tex]\rm\Delta_i'(0)=0[/tex]
[tex]\rm\Delta_i''(h)=\frac{f''(x_i+h)h}{2}[/tex] et donc [tex]\rm\Delta_i''(0)=0[/tex].

Ici, en poursuivant on voit que [tex]\rm\Delta_i'''(h)=\frac{f'''(x_i+h)h}{2}+\frac{f''(x_i+h)}{2}[/tex] et donc avec l'égalité de Taylor-Lagrange :
[tex]\Delta_i(h)=\Delta_i'''(c_i)\frac{h^3}{6}[/tex] avec [tex]c_i\in ]0,h[[/tex].

Ainsi :
[tex]\Delta_i(h)=\frac{f'''(x_i+c_i)c_i}{2}\frac{h^3}{6}+\frac{f''(x_i+c_i)}{2}\frac{h^3}{6}[/tex].

Par conséquent :
[tex]\rm T_n = I+\sum_{i=0}^{n-1}\Delta_i(h) = I+\frac{h^3}{6}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f'''(x_i+c_i)c_i}{2}+\frac{h^3}{6}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f''(x_i+c_i)}{2}[/tex].

L'idéal serait d'avoir que parmi les sommes [tex]\rm\frac{h^3}{6}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f'''(x_i+c_i)c_i}{2}[/tex] et [tex]\rm\frac{h^3}{6}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f''(x_i+c_i)}{2}[/tex] , l'une soit [tex]\frac{A}{n^2}[/tex] et l'autre [tex]o(\frac{1}{n^2})[/tex].

Je n'y parviens pas.

Poaulo · 22-03-2010 16:55:13

J'ai déjà démontré l'inégalité de l'exercice 28 valentin. Permet-elle d'écrire [tex]T_n[/tex] sous la forme exigée ?

Valentin · 22-03-2010 16:22:22

Sinon, il clique ici pour voir le sujet

http://www.bibmath.net/exercices/bde/an … ioneno.pdf
ou ici pour le corrigé
http://www.bibmath.net/exercices/bde/an … ioncor.pdf

freddy · 22-03-2010 16:01:50

Salut Fred,

attention, l'url pointe directement sur le directory de ton serveur, et pas la page HTML d'exo du site.

Fred · 22-03-2010 15:43:37

Bonjour,

J'ai déjà rédigé cela un jour ?!? Ah oui, j'ai trouvé :

http://www.bibmath.net/exercices/index. … oi=analyse

Regarde la feuille "Intégration Niveau 1', l'exercice 28 (ouf!).

Cela dit, je ne crois pas que la façon dont les questions sont posées soit la plus intuitive.
Es-tu en train d'étudier le théorème de Rolle ou l'égalité des accroissements finis?

Fred.

[Edit : Merci Freddy pour me faire modifier le lien].

Poaulo · 22-03-2010 15:03:43

J'ai fait la représentation graphique. Je trouve que
[tex]\frac{b-a}{2n}(f(x_i)+f(x_{i+1}))=(x_{i+1}-x_i)\frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}=\int_{x_i}^{x_{i+1}}\frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}dt[/tex]

Mais je ne vois pas comment avancer.

freddy · 22-03-2010 14:27:47

Salut,

je te suggère de commencer par une représentation graphique, puis de développer analytiquement ta somme.

Il manque des parenthèses dans la fameuse somme dénombrable.

(...)

Poaulo · 22-03-2010 13:07:24

Bonjour.

Pour une fonction continue [tex]f[/tex] sur [tex][a,b][/tex] que l'on découpe à l'aide de la subdivision [tex]\sigma=(x_i)_{0\le i\le n[/tex] définie par [tex]x_i=a+i\frac{b-a}{n}[/tex], on pose [tex]T_n=\frac{b-a}{2n}\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)+f(x_{i+1})[/tex] et [tex]I=\int_a^b f(t)dt[/tex].
Montrer que, supposant f suffisamment régulière, on a [tex]T_n=I+\frac{A}{n^2}+o(\frac{1}{n^2})[/tex].

Je ne vois pas comment débuter.
Merci de votre aide.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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