Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut à tous..
J'ai  fait Golbach de la manière la plus simple avec une simple équation....

Tout est à 13 développement avec de simples exemples

1/ Racine de m. Ex m=84, √m≈9.1

2/ Δ = produit des premiers p < √m avec p ∤ m.
Ex m=84 → p=2,3,5,7 → 2,3,7 divisent 84 → Δ=5
m=100 → Δ=3×7=21
m=210 → Δ=11×13=143

3/ pgcd(Δ,m)=1 par définition, car aucun diviseurs de ∆ ne divisent m et aucun diviseurs de m ne divise ∆

4/ Deux teams : m multiple de 3 et m non multiple de 3.

5/ Cas m multiple de 3 : ∃ V0,U0 avec m×V0+1=Δ×U0 (Bézout).

Ex 84×1+1=5×17 → V0=1

210×32+1=143×47 → V0=32

6/ Vk = V0 + k×Δ. Pourquoi Vk peut être premier avec m ?
Théorème de Dirichlet : la progression V0 + k×Δ, avec pgcd(V0,Δ)=1, contient une infinité de nombres premiers. Donc on peut choisir k pour que Vk soit lui-même premier, donc a fortiori pgcd(Vk,m)=1.
Ex Vk=1+5k contient 11,31,41...

7/ Équation (Ea) : x×Vk - y×Δ×m = m×a -1. a variable.

8/ Descente :
Si x-m>0 alors on pose V'k = Vk + s×Δ×m. Alors
Δ×(y + s×x - s×m - y' - k) = a - a' - V0
Si on prend a' = a - V0, le membre droit =0, donc (x-m , y') solution de (Ea). Donc x → x-m reste solution. (avec le Théorème des restes chinois on peut obtenir a telque a, ma-1 et ma+1 soit tous premier avec ∆ car le plus petit diviseur de ∆ est plus grand que 4)

9/ le plus petit élément x0 du couple (x0,y0) de (Ea) est plus petit que m..
x0 <m (sinon m n'est  pas solution et si x0>m alors x0-m serait solution et plus petit que x0)

(10)x0 est premier ou est 1
de l'équation, x0 est premier avec m et avec ∆ de plus x0<m d'où x0 est premier ou  est 1

11/ Cas m non multiple de 3 : 3|Δ. Pose Δ=3×Δ', Δ'=Δ/3.
Ex m=100, Δ=21, Δ'=7

11/ Nouveaux V0,U0 : 3×m×V0+1=Δ'×U0.
Ex 300×6+1=7×257 → V0=6. Dirichlet encore : Vk = V0 + k×Δ' contient une infinité de premiers.

12/ Nouvelle équation (E'a) : 3×x×Vk - y×Δ'×m = m×a -1
Même calcul :
Δ'×(y +3×s×x -3×s×m - y' -3×k) = a' - a +3×V0
On impose a' = a -3×V0 → x → x-m reste solution →  et le plus petit x0 <m est nombre premier ou est 1.

Pourquoi a existe avec a, m×a-1, m×a+2, m×a+3 premiers avec Δ' ?
Restes chinois : pour chaque p≥5 divisant Δ', on doit éviter 4 résidus :
a ≡0
a ≡ m⁻¹  (m×a-1≡0)
a ≡ -2×m⁻¹ (m×a+2≡0)
a ≡ -3×m⁻¹ (m×a+3≡0)
Il reste p-4 ≥1 choix si p≥5, p-4≥3 si p≥7. Par le théorème chinois on recolle un a global qui évite tout. Ex p=5 → 1 choix restant, p=7 → 3 choix.

13/ GOLDBACH :
x0 premier <m, pose x1=m-x0>0 et qui est premier avec m et avec ∆. Donc x1 premier. Donc m = x0 + x1 = premier + premier
D'où golbach

Quand on dit c'est simple alors c'est simple
Golbach est simple...
Bonaventure sofoton
Tonouewa
Cordialement