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Bonjour
Concernant la distinction entre fini et dénombrable, cela dépend de la définition de "dénombrable" : si être dénombrable signifie être en bijection avec $\mathbb{N}$ alors un ensemble fini n'est pas dénombrable. Pour plus de clarté, on peut utiliser des expressions comme "au plus dénombrable" pour un ensemble fini ou dénombrable, et "infini dénombrable" pour un ensemble infini qui est dénombrable.
Pour la surjectivité, on peut considérer un élément $n$ de $A$ puis définir la suite $(u_k)_k$ par $u_k = n-a_k$ si $n \geq a_k$ et $u_k=0$ sinon. Cette suite est une suite décroissante d'entiers naturels, donc elle est stationnaire. Or, elle ne peut stationner qu'en $0$ par injectivité de la suite $(a_k)$. Donc ou bien il existe $k$ tel que $n = a_k$ et on a fini ou bien il existe $k$ tel que $a_k < n < a_{k+1}$ mais alors $n$ appartient à $A_{k+1}$, ce qui contredit le fait que $a_{k+1}$ est le minimum de $A_{k+1}$.

Bonsoir,

  Une remarque d'abord, ce que tu écris n'est pas juste, c'est toute partie infinie de $\mathbb N$ qui est dénombrable.
Dans le cas où $A$ est une partie de $\mathbb N$ infinie, il faut construire une bijection de $\mathbb N$ sur $A.$ L'idée est assez simple : on envoie $0$ sur le plus petit élément de $A$ (qui existe car toute partie de $\mathbb N$ non vide admet un plus petit élément). J'appelle $a_0$ ce plus petit élément, et $A_1=A\backslash\{a_0\}$. L'ensemble $A_1$ est toujours non vide (car $A$ est infini) donc un élément un plus petit élément. Je note $a_1$ ce plus petit élément et on envoie $1$ sur $A_1$. On continue ainsi (il faut faire une récurrence),
puis démontrer que la fonction construite est bien une bijection ...
  Souhaites-tu des éclaircissements particuliers ?

F.