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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- gebrane
- 08-09-2026 11:45:31
Merci pour ta réponse !
J'avais justement travaillé dans les Gourdon et je n'avais pas remarqué que cette remarque était erronée. Cela me rappelle qu'il faut parfois se méfier des remarques qu'un auteur ne prend pas le temps de démontrer : ce sont peut-être les passages auxquels on prête le moins attention, alors qu'ils peuvent contenir des subtilités.
- velocipederectangle183
- 08-09-2026 06:13:15
Je n'ai plus le livre, mais il faut verifier si on suppose dans cette section des suites de fonctions à termes positifs , donc $\boxed{\text{si la remarque porte sur des fonctions positives, « convergence normale » est justifié.}}$
Bonjour.
Non, le résultat est formulé pour des fonctions de $[a,b]$ dans un espace de Banach.
Notons que le résultat corrigé est plus généralement vrai sur tout intervalle borné.
- gebrane
- 07-09-2026 19:39:18
Je n'ai plus le livre, mais il faut verifier si on suppose dans cette section des suites de fonctions à termes positifs , donc $\boxed{\text{si la remarque porte sur des fonctions positives, « convergence normale » est justifié.}}$
- Michel Coste
- 07-09-2026 10:46:59
Dans l'édition que j'ai (sans doute la première, datant de 1994), il n'y a pas trace de cet énoncé dans la remarque 5 suivant le théorème 5 du § 3.2du chapitre IV.
- bridgslam
- 07-09-2026 09:04:56
Bonjour,
En fait, selon les hypothèses :
- si la série des dérivées converge uniformément
- convergence quelconque de la série en un point
On en déduit la convergence uniforme de la série de fonctions
- si la série des dérivées converge normalement
- convergence absolue de la série en un point
Le résultat est alors plus fort avec la convergence normale de la série de fonctions.
- DeGeer
- 06-09-2026 20:42:23
Une nouvelle version du tome d'algèbre et probabilités a été publiée l'année dernière avec un nouveau titre. Peut-être qu'une nouvelle version du tome d'analyse est en préparation.
- velocipederectangle183
- 06-09-2026 20:11:59
Je viens de contacter M. Gourdon par mail (il donne une adresse au début du livre) pour lui signaler l'erreur.
Bonsoir,
J'ai peut-être la première ou la deuxième édition au bureau. Je regarderai demain si l'erreur est déjà présente ...
Parfois on rajoute quelques lignes dans une remarque sans trop y réfléchir ...F.
Bonsoir,
Non mais justement, cela apparait déjà dans la 2e ; c'est la raison pour laquelle je suis étonné. Après je sais pas pour la 1ère...
- Fred
- 06-09-2026 20:01:21
Bonsoir,
J'ai peut-être la première ou la deuxième édition au bureau. Je regarderai demain si l'erreur est déjà présente ...
Parfois on rajoute quelques lignes dans une remarque sans trop y réfléchir ...
F.
- velocipederectangle183
- 06-09-2026 19:16:45
J'ai l'impression qu'il faudrait que la série $\sum g_n(x_0)$ converge absolument pour un certain $x_0$ mais je n'ai pas regardé en détails.
Bonsoir,
Oui absolument (vous pardonnerez le jeu de mot...). Cela se montre aisément avec les valeurs intermédiaires, et en utilisant le fait que l'intervalle est borné. C'est d'ailleurs bon à savoir pour l'agreg...
- DeGeer
- 06-09-2026 18:56:28
Bonjour
Le théorème qui est démontré dans le Gourdon est le suivant : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ d'un segment $[a,b]$ de $\mathbb{R}$ dans un espace de Banach $E$. On suppose que:
i) Il existe $x_0 \in [a,b]$ tel que la suite $(f_n(x_0))$ converge ;
ii) La suite de fonctions $(f_n')$ converge uniformément sur $[a,b]$ vers une fonction $g$;
Alors la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $[a,b]$ vers une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ vérifiant $f=g$.
L'énoncé dont il est question ici est parachuté sans démonstration. J'ai l'impression qu'il faudrait que la série $\sum g_n(x_0)$ converge absolument pour un certain $x_0$ mais je n'ai pas regardé en détails.
- velocipederectangle183
- 06-09-2026 18:50:19
Bonjour,
C'est en effet un peu surprenant. Il ne fait pas la démonstration dans le bouquin ?
Roro.
Bonsoir,
Non, c'est une remarque non démontrée.
- Roro
- 06-09-2026 16:48:24
Bonjour,
C'est en effet un peu surprenant. Il ne fait pas la démonstration dans le bouquin ?
Roro.
- velocipederectangle183
- 06-09-2026 11:58:01
Espérons juste que ce genre de fausse version du théorème de dérivation terme à terme ne se dissémine pas dans d'autres cours : comme j'ai pu le lire ailleurs... Par exemple dans la proposition 1.2.28 (page 15) du document d'agrégation suivant : https://www.math.univ-toulouse.fr/~jroy … ctions.pdf
- bridgslam
- 06-09-2026 10:51:08
Bonjour,
De rien.
Les membres du forum ou autres visiteurs se feront sans doute un plaisir de regarder ta question, notamment pour les férus d'analyse.
Ces théorèmes sont assez loin pour moi, et cela demande à être regardé de près.
Pour ce qui est de la littérature, lisant pas mal de documentation sur le bridge, mon dada, je suis tombé un jour sur un bouquin, remanié au goût du jour au niveau des préceptes standart modernes sur les enchères, hélas dans les paragraphes d'exercices, non remaniés, il en était resté à l'ancien système... et un lecteur n'en ayant jamais entendu parler a du être bien perdu et n'y comprendre strictement rien.
Autrement-dit ça arrive dans tous les domaines...
Bon dimanche
- Michel Coste
- 06-09-2026 10:48:40
Bonjour,
Le contre-exemple n'est pas bon : on a $\Vert g_n\Vert_\infty=\dfrac1n$ et la série numérique $\sum_{n>0} \dfrac1n$ n'est pas convergente !
Désolé, j'ai confondu les fonctions et leurs dérivées. Ce que je dis ci-dessus montre effectivement que la convergence de la série des $g_n$ n'est pas normale. Il faut remplacer "normalement" par "uniformément" aux deux endroits de l'énoncé.