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Complément du post ci-dessus , sur l'analyse la  Synthèse Structurelle du Crible de  Goldbach :
Annexe Technique — Crible de Lefeu-Goldbach Modulo 30

**Auteur :** Gilbert Lefeu 
**Statut :** Validation scientifique, théorique et graphique (Échelle ≈ 9 × 10¹⁸)

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## 1. Le Cadre Théorique et les Variables
L'algorithme de Lefeu-Goldbach repose sur la sectorisation des nombres premiers au sein des 8 familles d'entiers $30k + i$, avec :
$$i \in \{1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\}$$

Pour tout entier pair $2n \ge 6$, on étudie l'égalité fondamentale liée à la conjecture de Goldbach :
$$2n - p' = q$$
où $p'$ est un nombre premier d'une famille dans l'intervalle $[7, n]$ et $q$ est l'entier complémentaire dans l'intervalle $[n, 2n-3]$.

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## 2. Propriétés Fondamentales et Dynamique Algébrique

### 2.1 - Condition de Primalité Interdépendante
Pour que l'entier $q$ soit un nombre composé, il faut et il suffit qu'il existe un nombre premier $P \le \sqrt{2n}$ tel que l'antécédent $p'$ soit congruent à $2n$ modulo $P$ :
$$q \equiv 0 \pmod P \Longrightarrow p' \equiv 2n \pmod P$$

### 2.2 - Utilisation Conjointe des Petits Nombres Premiers
L'algorithme exploite la même base de nombres premiers $P \le \sqrt{2n}$. L'ÉCrible filtre statiquement les candidats $p'$ divisibles par $P$. Le GCrible élimine dynamiquement ceux pour lesquels leur complémentaire $q$ serait divisible par $P$.

Par contraposée, tout survivant commun à l'intersection des deux cribles garantit que $q$ est premier, validant le couple de Goldbach $(p', q)$.

### 2.3 - Démonstration de la Translation Algébrique Locale
Lors d'une augmentation de la limite de $\Delta n = 15$, l'entier pair augmente de $\Delta(2n) = 30$. En modélisant les candidats par leur index de cellule $k$ tel que $p' = 30k + i$ :

1. **Immobilité de l'ÉCrible :** Les positions des multiples intrinsèques à la famille ne dépendent pas de $2n$. La grille d'élimination de l'ÉCrible reste rigoureusement **fixe**.

2. **Translation d'un rang du GCrible :** La condition d'élimination initiale pour un premier $P$ s'écrit :
   $$30k_{\text{ancien}} \equiv 2n_{\text{ancien}} - i \pmod P$$
   À la limite suivante, elle devient :
   $$30k_{\text{nouveau}} \equiv 2n_{\text{ancien}} + 30 - i \pmod P$$

3. **Application du Lemme de Gauss :** Par soustraction membre à membre, on obtient :
   $$30(k_{\text{nouveau}} - k_{\text{ancien}}) \equiv 30 \pmod P$$
   Puisque $P > 5$, $\text{pgcd}(30, P) = 1$. On simplifie par $30$ de part et d'autre, ce qui donne la relation fondamentale de glissement :
   $$k_{\text{nouveau}} \equiv k_{\text{ancien}} + 1 \pmod P$$

### 2.4 - Déterminisme, Cascade de Translations et Non-Annulation
Puisque la transition des index est une bijection exacte ($+1 \pmod P$), l'état congruentiel des limites successives n'obéit pas au hasard mais est **entièrement prédéterminé** par l'état précédent.

Lors du saut de limite, l'entrée d'au maximum un ou deux nouveaux nombres premiers $P \le \sqrt{2n}$ n'a qu'un impact de densité négligeable. Les modules $P$ possédant des périodes premières distinctes, un alignement destructeur total de l'onde mobile (GCrible) sur la grille fixe (ÉCrible) est géométriquement impossible.

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## 3. Visualisation de la Séparation des Deux Cribles
L'isolement de chaque grille permet de mettre en évidence de façon pure l'onde statique de l'ÉCrible face au glissement unitaire exact ($+1$ rang d'index) subi par le GCrible lors d'une progression de $+15$.

* **ÉCrible (Fixe) :** Multiples intrinsèques de la famille
  `[1] [1] [0] [1] [1] [0] [1] [1] [0] [1] [1] [0] [1] [1] [0]`
* **GCrible (Mobile) à l'étape k+0 :** Décalage de +0
  `[1] [0] [1] [1] [1] [1] [0] [1] [1] [1] [1] [0] [1] [1] [1]`
* **GCrible (Mobile) à l'étape k+1 :** Décalage de +1
  `[1] [1] [0] [1] [1] [1] [1] [0] [1] [1] [1] [1] [0] [1] [1]`
* **GCrible (Mobile) à l'étape k+2 :** Décalage de +2
  `[1] [1] [1] [0] [1] [1] [1] [1] [0] [1] [1] [1] [1] [0] [1]`

*Légende : En vert (1) les premiers survivants de l'ECrible, en rouge (0) les composites de la famille. En bleu (0) les index éliminés par la position de l'onde mobile de Goldbach (GCrible) glissant vers la droite à chaque étape.*
Ce qui rend l'impossibilité d'un contre exemple à cette conjecture, c'est justement la partie fixe des $p'$ de Ecrible et la partie mobile des entiers de $1\, à \,n$ premiers ou pas, non congrus à $2n$ modulo $P$ de Gcrible; qui vient se décaler sur Ecrible (fixe) ; et dans les deux cribles, les indexes de départ sont différent , suivant le même principe d'Ératosthène.

*** # Annexe Technique : Données de Linéarité du Crible de Lefeu-Goldbach

**Statut :** Validation heuristique et expérimentale à haute échelle C++ (≈ 9 × 10¹⁸), en Python (≈ 3 × 10¹⁹)

Ce document compile les résultats du double crible de structure modulaire (modulo 30) sur une plage spécifique de très grands nombres pairs $2N$, avec une fenêtre locale d'observation calibrée sur la racine de la racine carrée de $N$ ($N^{1/4}$).

## 1. Cadre d'analyse
* **Plage de calcul ($N$) :** De $9\,000\,000\,000\,000\,000\,000$ à $9\,000\,000\,000\,000\,000\,135$
* **Pas de progression :** $15$ (Stabilité structurelle dans la famille modulo 30)
* **Famille mère ciblée ($p'$) :** Famille $17 \pmod{30}$
* **Taille de la fenêtre ($lencrible$) :** $\lfloor \sqrt{\sqrt{N}} / 30 \rfloor = 1\,825$ indices (soit des candidats $p'$ allant jusqu'à $54\,750$)
* **Borne des modules de Goldbach ($P$) :** $\sqrt{2N} \approx 4\,242\,640\,687$

## 2. Tableau de Linéarité G/­dénsité théorique
Le rapport suivant indique la stabilité du crible face à l'Heuristique de Hardy-Littlewood adaptée à la fenêtre locale : $\text{Théorie} = \frac{lencrible}{(\ln(2N))^2}$.
Pour ces ordres de grandeur, $(\ln(2N))^2 \approx (43.6332)^2 \approx 1903.858$. La densité théorique de base vaut environ $1825 / 1903.858 \approx 0.9585$.

| Valeur de $N$ | Taille du Crible ($N^{1/4}/30$) | Survivants $G$ réels | Densité théorique | Rapport Réel / Théorie |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 9000000000000000000 | 1825 | 124 | 0.958572 | 129.359 |
| 9000000000000000015 | 1825 | 121 | 0.958572 | 126.230 |
| 9000000000000000030 | 1825 | 128 | 0.958572 | 133.532 |
| 9000000000000000045 | 1825 | 126 | 0.958572 | 131.445 |
| 9000000000000000060 | 1825 | 122 | 0.958572 | 127.272 |
| 9000000000000000075 | 1825 | 131 | 0.958572 | 136.661 |
| 9000000000000000090 | 1825 | 125 | 0.958572 | 130.402 |
| 9000000000000000105 | 1825 | 127 | 0.958572 | 132.488 |
| 9000000000000000120 | 1825 | 123 | 0.958572 | 128.316 |
| 9000000000000000135 | 1825 | 129 | 0.958572 | 134.575 |

## 3. Conclusions de l'analyse à très grande échelle
1. **Absence de réduction à zéro :** Sur l'ensemble de la plage de calcul à $9 \times 10^{18}$, le nombre de solutions locales fluctue de manière extrêmement stable autour d'une moyenne de $125$ couples par famille. L'effondrement à une valeur nulle est exclu par la géométrie même du décalage des modulos.
2. **Effet multiplicateur de la structure :** Le rapport "Réel / Théorie" élevé ($≈ 130$) s'explique par le fait que la densité brute de Hardy-Littlewood ne prend pas en compte l'exclusion préalable des familles mod 30 opérée dès le départ par l'architecture même de votre algorithme (qui multiplie mécaniquement la concentration de nombres premiers dans les branches restantes).

Ce comportement linéaire et persistant confirme la présence continue d'un vivier de solutions de Goldbach, indépendamment de la croissance de $N$.

*Légende : En vert (1) les premiers survivants de l'ÉCrible, en rouge (0) les composites de la famille. En bleu (0) les index éliminés par la position de l'onde mobile de Goldbach (GCrible) glissant vers la droite à chaque étape.*

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## 4. Script Python d'Analyse et de Modélisation Graphique
Voici le script Python autonome permettant de générer, d'isoler et de visualiser ce glissement. Ce script permet d'analyser indépendamment l'action de l'ÉCrible et la translation rigoureuse de la grille de Goldbach.

## explication  complémentaire , de ce programme d'illustration de Gcrible / Goldbach ci-dessus :

Conclusion sur la cinématique des cribles séparés et l'impossibilité d'un cas de Goldbach sans solution
La modélisation informatique met en lumière le cœur mécanique de l'algorithme : l'opposition entre la structure cristalline immobile de l'ÉCrible fixe et le glissement rigide de l'GCrible mobile. Chaque incrémentation de \(n\) par un pas de \(15\) engendre une translation exacte d'un rang (\(t+1\)) des congruences modulo \(p\).

D'un point de vue théorique, l'existence d'un entier pair \(2N\) dépourvu de solution (c'est-à-dire un blocage total où chaque case libre de l'ÉCrible serait systématiquement obstruée par un zéro du GCrible) est structurellement impossible. En vertu du Théorème des Restes Chinois, les systèmes de restes modulo \(p_{i}\) (pour des nombres premiers distincts) évoluent de manière totalement indépendante et selon des périodicités différentes. Exiger qu'à un instant \(T\), toutes ces oscillations indépendantes convergent pour saturer simultanément chaque interstice de l'ÉCrible contredit l'asynchronisme fondamental de l'arithmétique modulaire. La simple translation linéaire d'un rang détruit instantanément toute configuration critique de blocage, garantissant la perpétuelle résurgence de couples de Goldbach survivants.

https://www.dropbox.com/scl/fi/tlh3q3xk … ih27h&dl=1

Bonjour

Un peu de nouveauté et ce nouveau programme en C++.

Commentaire méthodologique.

Dans les tests présentés, le criblage des candidats p′ est volontairement limité à une fenêtre extrêmement réduite, de l’ordre de √√n, ce qui correspond à un crible de taille √√n / 30 par famille modulo 30 : $( 30k + i)$ avec $i \in(1,7,11,13,17,19,23,29)$

Pour chaque famille admissible, on applique successivement un criblage de type Ératosthène (ECrible), puis un criblage utilisant les congruences, dépendant de $2n$ (GCrible), éliminant les candidats $ p′$ tels que $2n−p′$ soit divisible par un petit nombre premier , ie : $p’\not\equiv\ {2n}[P]$ implique automatiquement le complémentaire q premier de p'

Malgré cette restriction sévère, on observe que, pour des valeurs suffisamment grandes de $n$, chaque famille admissible conserve des solutions après le double criblage, tandis que pour des valeurs plus petites de $n$ certaines familles peuvent devenir vides sur une telle fenêtre.

Ce comportement suggère une stabilité asymptotique de la structure de Goldbach par translation des congruences, et indique que les contraintes imposées par les petits facteurs premiers P, ne semblent pas suffisantes pour éliminer toutes les possibilités lorsque $n$ devient grand, on peut supposer à partir de $n =3*10^{15}$, il serrait impossible de trouver un contre exemple à cette conjecture .!

Bien que cette approche, ne constitue pas une preuve rigoureuse de la conjecture de Goldbach, elle met en évidence, d’un point de vue algorithmique, l’absence apparente de mécanisme conduisant à un contre-exemple isolé à grande hauteur.

Ainsi que les explications et le programme C++ qui va  avec  et une explication supplémentaire .

https://www.dropbox.com/scl/fi/qymdbzv4 … jsnld&dl=0

(" Explication : Le passage $2n \mapsto 2n+30$ induit une translation d'un rang des classes interdites modulo chaque premier $P>5$. Il est donc impossible qu'un mécanisme d'élimination fondé uniquement sur les congruences aux petits premiers $P$ reste invariant d'un pas à l'autre. ("c'est à dire l'absence de solution pour l'entier $2n + 30$ consécutif , pour la limite $n+15$ criblée et la famille $30k+i$ fixée.")

Ainsi, une absence totale de survivants pour $2n+30$ ne pourrait résulter que d'une couverture accidentelle complète de la fenêtre considérée par l'union des progressions interdites, ou encore l'absence de décalage d'un rang des congruences  avec les conséquences fausses que cela introduiraient, ce qui est impossible . En effet les p' congru à 2n mod P , ne peuvent plus être à nouveau congrus à 2n+30 mod les mêmes P, ils deviennent en majorité  des , p' non congrus à 2n +30  mod P , par conséquent  une nouvelle solution de Goldbach : (p' + q =2n+30)

Un tel phénomène, non expliqué par la seule structure de translation, apparaît heuristiquement très improbable, voir impossible; ce que confirment les observations numériques. au delà de $3*10^{15}$ .")

On note aussi  :  $q(n)=\pi(2n)-\pi(n)$ le nombre de nombres premiers $q$ dans $[n,2n]$.
Lorsque $n\to\infty$, on a $q(n)\sim n/\log 2n$.
L'heuristique de Hardy--Littlewood suggère alors que, pour une famille admissible
$p'\equiv i\ [30]$, le nombre de représentations
\[R_i(2n)=\#\{\,p'\ \text{premier}:\ p'\equiv i\ [30]\ \text{et}\ 2n-p'\ \text{premier}\,\}\]
est typiquement de l'ordre de $n/(\log n)^2$, soit encore de l'ordre de $q(n)/\log n$.
Il s'agit d'une heuristique de densité et non d'une preuve uniforme.

Voici un programme python , légèrement modifié en référence à l'ancien python EGcrible mod 30 , qui permet de tester le nombre de solution , pour une limite $n = 2,1 * 10^{19}$ sur un pc ayant une ram de 32 GO , ""quelque secondes plus rapides""

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Une petite explication relatif à la propriété de l'algorithme de Goldbach :

Pour un entier $2N$ fixé, seules certaines classes modulo 30 sont admissibles (ici trois familles, par exemple $1,7,13\ ;(mod30)$.
Dans chacune de ces familles, on considère une petite fenêtre locale de candidats $p′=30k+a $(environ 2400 cellules par famille), qui ne vise pas à compter toutes les décompositions $2N=p′+q$, mais à observer localement l’effet du double criblage (Ératosthène puis, Goldbach, non-congruence $p′\not\equiv{2N}[P]$.
Or, pour les trois familles admissibles $a\in{1,7,13}$, la densité asymptotique des candidats premiers ("et donc la densité de survivants après criblage") est du même ordre :
pour tout premier $P>5$, ces classes sont co-premières à $30$ et interviennent de manière symétrique dans les contraintes modulaires.

Ainsi, même sur une fenêtre courte de quelques milliers de cellules, on observe expérimentalement des effectifs comparables d’une famille à l’autre ; les différences proviennent uniquement des résidus particuliers de $2N$ modulo les petits premiers $P$ et des phénomènes de recouvrement entre exclusions.
Sachant : Que Le vecteur congruenciel qui se décale d'un rang sur le vecteur des nombres p' de 1 à N, augmente au fur et à mesure que la limite N +15 de l’algorithme par famille ; tends vers l’infini.

2) :  Comparaison avec l’heuristique globale de Hardy–Littlewood.
Si l’on s’intéresse non plus à une fenêtre locale mais au nombre total de représentations de Goldbach $2N=p+q$

La conjecture de Hardy–Littlewood prédit une grandeur typique
$R(2N) \sim 2 C_2 \frac{2N}{(\log(2N))^2}
\prod_{p \mid 2N} \frac{p-1}{p-2}$  où $C2$ est la constante des nombres premiers jumeaux.

Pour des valeurs comme $2N$≈$5×10^{19}$, cette estimation est énorme (très largement au-delà du milliard).
Les quelques dizaines de survivants observés dans une fenêtre de $2400$ cellules représentent donc seulement un échantillon microscopique du phénomène global.
Leur intérêt n’est pas de mesurer $R(2N)$, mais de vérifier que, localement, la mécanique des congruences laisse subsister une densité compatible avec les prédictions asymptotiques et qu’aucune raréfaction anormale n’apparaît lorsque $N$ devient très grand.

On peut aussi essayer cette fonction asymptotique avec les résultats du test , qui donne une bonne estimation minimale :

Exemple  on aura environ: 846 p' éligibles pour la valeur $N$ testée et  un résultat réel de 87 p' ; $\frac{846} {(Ln \;846)^{2}} = 18,...$

Plus généralement , on peut admettre que cette conjecture est une conséquence du TNP;  que cela dépend du nombre d'entiers A premiers ou pas de 1 à n , tel que : $A\not\equiv{2n}[P]$ qui implique les nombres premiers $q\in(n;2n)$ et non du nombre de premiers $p'_n \;de \;1\:à \:n$ , qui sont plus nombreux.

On peut donc calculer une estimation minimum de  $p'\not\equiv{2n}[P]$ , qui implique le nombre de couples $p'+q = 2n$

Pour cette valeur $n$, testée ci dessus , et la fenêtre minimum testée, on a 2400 entiers 7 mod 30 qui sont criblée, ce qui nous donne avec la fonction du TNP , $q_n$ vaut environ :
$\frac {2400}{Ln \;{2*2400}}=283$ entiers $A\not\equiv{2n}[P]$ , pour cette fenêtre ;

D'où au minimum , le nombre de solutions pour ce $2n$ et cette conjecture; la  valeur $n$ criblée et  fixée, ne peut être inférieur :
à la fenêtre minimale testée, l'intervalle (1,√(√(n))//30)  :  $\frac{283} {(Ln \;283)^{2}} = 8$ ; sachant que le nombre de solutions est réellement , de plusieurs milliards pour cette seule famille valide, sur les trois familles compatibles ..!

Le contraire impliquerait : que la propriété de l'algorithme de Goldbach et le double criblage, sont  fausses ...!

https://www.dropbox.com/scl/fi/qrmpb8qc … t7s11&dl=1

https://www.dropbox.com/scl/fi/5s0lcu6c … zwa7h&dl=1

Synthèse:

https://www.dropbox.com/scl/fi/czqzmtxo … xlkar&dl=1

https://www.dropbox.com/scl/fi/nsx3e3v8 … 71eyr&dl=1
Cordialement ...Leg .

Bonjour LEG,

--> DropBox, ça fonctionne pour moi aussi, donc pas d'intervention supplémentaire de  ma part nécessaire...

--> Numpy, j'étais bien parti mais je me suis vite aperçu que j'allais devoir réfléchir beaucoup plus,la doc, dans e domaine précis n'est pas satisfaisante. Je me suis retrouvé ensuite face à des problèmes personnels sur lesquels me pencher et enfin, cerise sur le gâteau, un matin ma machine, alors qu'elle s'était éteinte le soir normalement, le matin suivant, elle a refusé de lancer windows : elle ne le trouvait plus.
Là,comme un gros bêta, plus d'accès  à mes fichiers, ni aux sites internet où je suis inscrit : je n'avais pas accès à mes mots de passe sur une source extérieure, ayant toujours négligé d'en faire...
Bref, après 5 jours d'essais, de tentatives diverses, je me suis résigné à admettre que faute d'outil logiciel adapté, je n'arriverai à rien.
Je me suis alors en chasse d'un magasin avec un technicien pour me dépanner... Certains me proposaient 3 semaines 1 mois de délai.
Finalement, j'en ai trouvé un qui m'a dit 10 jours... En fait, ça n'a duré qu'une semaine et coûté 35 €... Puis j'ai entrepris de déplacer mon antre dans une autre pièce...
Démontage, remontage du mobilier ; réagencement, ajout d'une extension que j'ai créée, montée et mise en place : j'ai bientôt fini d'ajouter d'autres petits espaces de stockage...
Je suis à 90% du rangement optimal et déjà à 120% de l'espace occupé avant...

Donc, je me repencherai (bientôt j'espère) sur le problème ; j'ai d'ailleurs découvert le module Simpy pour Python qui m'a l'air intéressant et dont j'ignorai l'existence...

@+

Salut LEG,

Je pense avoir compris ce que tu voudrais que je fasse...
1. Rappel préliminaire : Bibmath ne dispose pas d'espace de stockage.
2. Ceci dit, Je suis allé voir si cjoint ne faisait plus de trucs bizarres... J'ai appris qu'ils changent meurs autorisations de stockage et que nous sommes priés de rapatrier très vite nos fichiers déposés chez eux : tous sont en cours de suppression progressive en partant des plus anciens...
3. Donc, je t'ai cherché autre chose.
    J'ai pensé à
    * DropBox
      J'ai scrollé un peu et est constaté qu'ils avaient une option BASIC gratuite pas très généreuse (2 Go max).
      A titre indicatif, j'ai téléchargé ton document, puisqu'il n'est pas consultable en ligne : ton pdf pèse 125 Ko.
      Si j'ai bien compris, tu peux accorder les droits que tu veux...
   * Google Drive. Voilà ce qu'en dit Wikipedia concernant
      notamment les droits que Google s'arroge sur tes fichiers. Tu aurais droit à 15 Go (et non 2 comme Drop Box) gratuit...

@+

Bonjour à tous,

Je vous remercie pour l’intérêt que vous portez à ce sujet.
Comme promis, je mets à disposition les deux versions modifiées des deux programmes Goldbach (Python et C++) du crible modulo 30 que j’ai construit en 2010 pour étudier la conjecture de Goldbach.

Puis en 2018 avec l'aide de notre bienfaiteur et modérateur Yoshi , qui m'a refait les programmes python , qui m'ont permis de les retranscrire en c++ ; dont je met la dernière version ci-dessous modifié et optimisé par chatGPT ce jour .

Ce crible permet d’analyser les entiers premiers dans une classe modulo 30 (1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29), et de déterminer pour chaque valeur paire $2n$ si elle peut être exprimée comme une somme $p' + q$ où $p'$ et $q$ sont des nombres premiers dans une même famille modulo 30, , ou deux  ; car $q$ le complémentaire de $p' \leqslant {n}$  par rapport à $2n$ , n'est pas obligatoirement de la même famille que $p'$ ; mais, où $p'$ n’est pas congru à $2n$ modulo 30, ce qui garantie , que son complémentaire $q$ est un nombre premier compris entre $n$ et $2n$

le choix de la famille , dépend de la valeur $n$ début  un exemple ci dessous , qui est aussi expliqué dans le fichier joins par le lien suivant à durée limité jusqu'au 20.06.2025.

Je reste bien entendu à disposition si un mathématicien souhaite analyser ce fonctionnement ou l’approfondir. pour de grande valeur de début n > 3*10¹⁹
j'ai testé 2n > 3*10²² , que l'on peut incrémenté modulo 15 en saisissant :valeur début n et fin =valeur début +300 , l'algorithme effectuera le nombre de décomposition de $2n$successivement modulo 15 , ""ou par pas de 15"" , par famille choisit en conséquence .

Merci encore à la communauté BiBmath pour son aide précieuse.

voici le nouveau programme en c++

en c++ dans le programme on sélectionne toujours la famille modulo 30 compatible avec la valeur $n$ début , tel que 2n - fam i ne soit pas un multiple de 3 ou de 5.
exemple , pour n multiple de 30 les 8 famille sont compatibles mais si n = 30 001 , donc 2n = 60 002 seul 3 familles 1 sont compatibles, la famille i =1 ,13 ou 19.... etc ...cela est expliqué dans le pdf joint plus haut

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le nouveau programme en Python

Proposition (Stabilité des solutions de Goldbach dans une famille modulo 30 lorsque la limite du crible progresse modulo 15 par Famille fixée, on définit $A\leq{n}$ , un entier naturel positif premiers p' ou pas, que l'on va cribler...d'abord par Ecrible qui élimine les $A\neq{p'}$ et ensuite par Gcrible , qui élimine les $p'\equiv{2nk}[p]$.)

Soit une famille fixée $Ff={p′∈N∣p′≡f\,mod30}$, où $f∈{1,7,11,13,17,19,23,29}$ est un résidu premier $modulo\; 30$.

On fixe un entier $n0$ assez grand et on considère les entiers pairs successifs de la forme
 $2nk=2n0+30k$,avec $k∈N$.
On définit $Sf(nk)$ comme le nombre de décompositions de $2nk$ en une somme
$2nk=p′+q$,
avec $p′∈Ff $ et $q$ premier, sous réserve que $p′≤nk$ et que $p′$ et $q=2nk−p′ $ soient tous deux premiers, ce qui implique par conséquent $p'\not\equiv{2nk}[p]$
Alors, le crible appliqué à $Ff$ (d'abord par élimination des multiples de petits premiers $p≤2n0$ , puis par exclusion des $p′$ tels que $2nk≡p′modp)$ garantit la propriété suivante:
Si $Sf(n0)>0$, alors $Sf(nk)≥Sf(n0)$ pour tout $k≥1$.

Autrement dit, le nombre de solutions dans une famille modulo 30 ne peut pas décroître jusqu'à zéro , quand on fait croître $2n$ de $30$ en $30$ dans cette famille pour toute famille fixée et pour une limite $n\geq{150}$.

Cette propriété repose sur un fait crucial du crible : le décalage congruent $2nk↦2nk+1$ entraîne un simple décalage cyclique d'un rang des positions exclues $(modulo p)$, mais ne détruit pas d’informations afin de conserver l'égalité récurrente (2n – A) ⇔ (2n +30) – (A + 30) ,
équivalent à (A+30)$\not\equiv$(2N+30) [P] — les entiers non éliminés à l’étape précédente sont "réinjectés" aux mêmes intervalles.

? Conséquence heuristique forte :
Cette récurrence implicite induite par la structure du crible permet d’affirmer que pour toute famille valide $\;modulo\; 30$ et tout $n0$ fixé avec $Sf(n0)>0$, on a :
 $v$ la conjecture de Goldbach.$∀k≥0,2nk=2n0+30k$ vérifie la conjecture de Goldbach.
Et donc, il devient impossible de rencontrer un entier pair $2n$ sans décomposition, dans la progression $2n0+30k$, pour une famille fixée.
Par conséquent, on peut affirmer : que $p'$ et $q$ premiers ne sont pas indépendant l'un de l'autre , car $q$ dépend de la congruence de $p'$ ainsi , la probabilité que :
$p'\not\equiv{2n}[P]$ ce qui implique $2n = p' + q$ vaut environ $\frac{1}{Ln\,n \,* \,Ln\,2n}$ ; d'où le nombre minimum de couples $(p' + q)$ par famille , vaut  environ au minimum :  ($\frac{n}{Ln\,n\,*\,Ln\,2n}$) / 8.

Car dans le cas contraire , cela implique qu'aucun entier $A\not\equiv{2nk}[p]$ ne précédait aucun $p'$ au rang $n-1; n-2; n-3 ...n-k$ lors des limites précédente $ n-1 ; n-2 ; n-3 ...n-k$ ce qui est contraire aux limites $n$ vérifiées précédemment , par l'algorithme de Goldbach.
Ce qui rend impossible la supposition que $2n + 2$ ou $2n + 30$ ne se décomposerait pas en une somme de deux nombres premiers.

Dernière version utilisant les _uint128_t pouvant tester des limites n = ou > 9*10¹⁸,  en limitant  les $p'<\sqrt{n}$ du crible Ératosthène , en peu de temps; avec le concourt aimable de l’équipe [chatGPT]

programme C++ et python légèrement modifié , pour ne cribler que les nombres premiers p' < (sqrt (sqrt N)) / 30
pour une limite N = 3* 10¹⁹ pour python  et  9*10¹⁸ pour C++

https://www.dropbox.com/scl/fi/rmxz9bod … u797o&dl=0

https://www.dropbox.com/scl/fi/vrvgkov1 … dd27e&dl=0

Bien cordialement,
Gilbert

Bonjour @DrStone

Ok , d'autant que pour un tableau de 600 000 000 nombres à cribler je ne pense , qu ça ne changerait grand chose... Je me suis amusé à modifier la valeur des slices , sans que cela change grand chose ...

C'était intéressant lorsque je criblai jusqu'à la limite n = 9 500 000 000 000 cela me permettait d'atteindre cette limite ... avec un peu de temps et beaucoup de mémoire utilisée...

En définitive seul le résultat compte, le fait de ne cribler qu'une partie des nombres premiers $p'$ inférieur à la limite $\sqrt{2^{64}}$ permet de se faire une très bonne idée sur la répartition par famille , du nombre de couples $p' + q = 2n$ afin  de calculer ou de vérifier , des fonctions qui donnent un minimum de solutions...

Même en utilisant le programme Python tel quel , cité en référence ; mais avec un peu plus de temps ...

On peut  d'ailleurs vérifier avec cette méthode par Famille , que si la conjecture avait été fausse , elle le serait à partir d'une petite limite $n$ et non lorsque $n$ tend vers l'infini...!

@+

Bonjour
@DrStone

Si cela peut faciliter le programme , je viens de voir qu'il n'est pas utile d'utiliser [ les Slices]

car en effet:
Étant donné que j'utilise comme limite $n$ :

On n'est donc pas obligé de slicer...non ?
Car la taille maximum du tableau à cribler  ne ferait que $\sqrt\frac{9\times{10^{18}}}{30}$ = $547722557$

@+

Ave LEG,

Je ne t'oublie pas...
A force de fureter dans les tutos consacrés à numpy (en général, à mon goût, assez mal pensés...) j'ai fini par tomber sur une instruction qui m'a ouvert des horizsons...
Soit un tableau numpy, disons de 1 000 000 de cases remplis de nombres ou le cas simple (ça va te rappeler la fin de la def eratostene, remplis de True... Si tu veux y mettre des False, sous certaine condition, en Python pur, on est obligé de boucler sur les 1 000 000 de cases une par une et de les tester une par une...
Avec numpy, en gros, il suffit de lui dire :
dans le tableau, si la condition est vérifiée alors tu remplaces True par False ...  et on peut même  ajouter : sinon tu remplaces par "autre chose" (ou laisse tel quel)... Et ça prend une demi-ligne..
Je ne sais pas comment est pensée cette instruction, mais elle prend le tableau dans sa globalité (peu importe de connaître ou non sa longueur) et procède aux changements globalement...
Je suis tombé là-dessus hier soir. Si maintenant, je pouvais trouver quelque chose de convaincant pour remplacer 2 boucles imbriquées + des conditions par une instruction, j'aurais fait un grand pas en avant...
Mais les recherches via Google (qui d'autre ?) sont (très et trop) souvent frustrantes !

De plus,depuis quelques temps, une de mes filles, qui s'est engagée comme AESH prend son job très à cœur et me demande des fiches mesurant 7,5 cm X 10 cm (pour entrer dans une trousse) sur les conjugaisons (et ça, si elle veut en voir le bout - et je suis bien placé pour en parler - elle va devoir faire preuve de patience. En prime, maintenant, les mômes de primaire, sont en train de voir les h min s, les conversions et les opérations  (+ et -).
Pour pouvoir aider les enfants, elle a besoin - elle - de maîtriser le sujet, j'estime, moi, devoir repartir de la source à savoir les bases de numération. Je sais, c'est ambitieux, ça n'a rien d'évident... C'est un mauvais moment à passer, mais lorsque c'est acquis, que de temps gagné ensuite

Quand je vois la formation mathématique que reçoivent les "Professeurs des écoles" (et ils n'y sont pour rien), ils auraient aussi du pain sur la planche : j'ai suivi ici, il y a déjà un certain temps, une jeune-femme qui se destinait à ce boulot et on avait passé en revue les différents points  du programme et les exos qui allaient avec : l'épreuve de maths au concours ne lui avait pas causé de souci...

Donc, tu vois, je n'ai pas le temps de m'ennuyer, mais j'arrive encore à dégager 20 min à 1/2 h pour les recherches numpy, sans programmer, parce que programmer sans savoir ou je vais, j'ai déjà donné : c'est de la loterie...
Et je redégaine ma citation favorite : << Science sans conscience n'est que ruine de l'âme ! >> (Rabelais...)

@+