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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Michel Coste
- 22-07-2026 18:50:32
Bonsoir,
et si on a la flemme de calculer des puissances 5e (même modulaires), on peut remarquer que modulo 2 on a $n^2\equiv n$, et donc $n^5\equiv n^4\equiv n^3\equiv n^2\equiv n$ et que modulo 3 on a $n^3\equiv n$, et donc $n^5\equiv n^3\equiv n$.
- DeGeer
- 22-07-2026 18:07:29
Bonjour
Tu peux aussi raisonner modulo $6$, en vérifiant que quelle que soit la classe de $n$ modulo $6$, $n$ et $n^5$ sont dans la même classe de congruence modulo $6$.
- anthony_unac
- 22-07-2026 16:48:01
Bonjour à tous,
Merci pour vos contributions qui hélas ne parviennent pas à se défaire des incontournables étapes intermédiaires :
1/ Le produit de deux nombres consécutifs est divisible par deux
2/ Le produit de trois nombres ------------------------------------
Je vais finir par croire qu'il est impossible de conclure sans ses étapes.
- Black Jack
- 22-07-2026 15:26:08
cailloux a écrit :$n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$ donne immédiatement une solution.
Bonjour,
Trop simple de s'engouffrer dans cette voie là.
Il faut vraiment jouer le jeu de la démonstration par récurrence pour respecter l'énoncé.
Bonjour,
Je poursuis ta démo du message initial.
(n+1)^5 - (n+1) = (n^5 - n) + 5n(n³+2n²+2n+1)
(n+1)^5 - (n+1) = (n^5 - n) + 5n(n³+n²+n²+n+n+1)
(n+1)^5 - (n+1) = (n^5 - n) + 5n(n²(n+1)+n(n+1)+(n+1))
(n+1)^5 - (n+1) = (n^5 - n) + 5n(n+1)(n²+n+1)
(n^5 - n) est divisible par 6 car …
reste à montrer que 5n(n+1)(n²+n+1) est aussi divisible par 6.
3 cas possibles:
a) n = 3k (k entier)
n est divisible par 3 et n(n+1) est divisible par 2 (2 entiers consécutifs contiennent un pair et un impair)
--> 5n(n+1)(n²+n+1) est divisible par 2 et par 3 --> divisible par 6
b) n = 3k+1
n²+n+1 = 9k²+6k+1+3k+1+1 = 9k²+ 9k + 3 --> divisible par 3
et comme n(n+1) est divisible par 2
On a 5n(n+1)(n²+n+1) est divisible par 2 et par 3 --> divisible par 6
c) n = 3k+2
(n+1) = 3k+3 --> divisible par 3
et comme n(n+1) est divisible par 2
On a 5n(n+1)(n²+n+1) est divisible par 2 et par 3 --> divisible par 6
Donc si (n^5 - n) est divisible par 6 , alors (n+1)^5 - (n+1) est aussi divisible par 6.
- Michel Coste
- 22-07-2026 06:43:12
Bonjour,
$$\begin{align}n\,(n^3+2n^2+2n+1)&=n(n+1)(n^2+n+1)=n(n+1)((n+2)(n-1)+3)\\ &=n(n+1)(n+2)(n-1)+ 3n(n+1)\end{align}$$ est visiblement divisible par 6.
- cailloux
- 21-07-2026 18:19:54
Alors on a la factorisation :
$(n+1)^5-(n+1)=n(n+1)(n+2)(n^2+2n+2)$
qui prouve bien que la solution récurrence est inutile (voire mauvaise) puisqu'on n'a pas besoin de "l'hypothèse de récurrence".
- anthony_unac
- 21-07-2026 17:58:06
$n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$ donne immédiatement une solution.
Bonjour,
Trop simple de s'engouffrer dans cette voie là.
Il faut vraiment jouer le jeu de la démonstration par récurrence pour respecter l'énoncé.
- cailloux
- 21-07-2026 17:50:00
Bonjour,
En l'occurrence, la récurrence n'est pas vraiment adaptée :
$n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$ donne immédiatement une solution.
- anthony_unac
- 21-07-2026 17:39:33
Bonjour,
Je bute sur cette démonstration par récurrence.
Plus précisément sur l'hérédité.
Supposons la propriété vraie au rang [tex]n[/tex] :
[tex]6 | (n^5-n)[/tex]
Montrons qu'elle est vraie au rang [tex]n+1[/tex] :
[tex](n+1)^5-(n+1)=(n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1)-(n+1)[/tex]
Les [tex]1[/tex] s'annulent et je cherche à retrouver du [tex](n^5-n)[/tex] dans l'expression, il vient :
[tex](n+1)^5-(n+1)=(n^5-n)+5n^4+10n^3+10n^2+5n[/tex]
[tex](n+1)^5-(n+1)=(n^5-n)+5n(n^3+2n^2+2n+1)[/tex]
J'obtiens alors une somme de deux termes dont l'un est divisible par [tex]6[/tex] (hypothèse de récurrence) et l'autre est divisible par [tex]5[/tex] et je bloque à ce niveau là.