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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

yoshi
18-07-2026 17:51:41

Bonsoir,

Brisgslam a écrit :

Niveau 4 ième ou 3 ième,  je n'ai pas tout écrit...

Je peux voir ce que tu appelles Niveau 4 ième ou 3 ième ?
Je crains que tu ne t'illusionnes beaucoup sur le niveau 4e/ 3e... A moins que je ne me trompe et ce serait une nouvelle intéressante qu'au ministère il ait été décidé de monter un peu plus le curseur de la "difficulté"...
Il n'y a (avait ?) que 2 consignes à respecter pour être dans les clous :
- Ne pas donner d'exercices demandant de la "virtuosité technique",
   Donc, factoriser $(2x-3)^2 -16$ oui, $(2x-3)^2 - 9(x-2)^2$ non...
- N'utiliser que des nombres fréquentables (sic)
dixit le dernier IPR '(i.e : Inspecteur Pédagogique Régional) venu m'inspecter.

En tout cas moi, je ne l'étais pas dans les clous les dernières années, j'avais décidé d'être border line en ayant soigneusement préparé l'argumentaire de défense de ma position et je faisais le distinguo entre les exercices d'entraînement en classe et Devoirs Maison et ce que je demandais en interros....
Si  toutefois j'avais mal identifié ce que tu as englobé dans ton affirmation, je serais content de m'être trompé et je ferais amende honorable.

@+

bridgslam
18-07-2026 08:30:57

Bonjour,


@anthony_unac : Niveau 4 ième ou 3 ième,  je n'ai pas tout écrit...
Votre remarque à jpp est celle que je lui ai soumise afin que le raisonnement et le développement algébrique  soit complet... #17

Voir d'ailleurs aussi la question conjointe (mini-énigme complémentaire)  en lien étroit avec la question.

Bonne journée

anthony_unac
18-07-2026 08:03:27
verdurin a écrit :

L'équation a donc des solutions entières.

Bonjour, Verdurin,
L'équation possède effectivement des solutions entières (et pas une infinité) sinon l'exercice n'aurait pas été posé ainsi.
Une fois que vous êtes parvenu à ce constat, que faites vous ?
Comment allez vous chercher à la main ces solutions ?
En résolvant l'équation de Pell Fermat ?

anthony_unac
18-07-2026 07:51:13
jpp a écrit :
▼une solution

1441 = 11 x 131  = a²c² + 38² - 38a² - 38c² = (a² - 38).(c²- 38)  => a² = 49 et c² = 169 => a = 7 et c = 13

Bonjour jpp,
vous avez vu juste mais vous avez sauté des étapes dans votre factorisation du membre de gauche.

anthony_unac
18-07-2026 07:44:39
bridgslam a écrit :
▼caché

Après une factorisation facile, je trouve que
(a, c) est (7,13) ou (13,7)

Bonjour, Bridgslam, quelle est cette factorisation facile ;)

Concernant le cas général :

▼Texte caché

[tex](ac+n)^2-n(a+c)^2=(a^2-n)(c^2-n)=pq[/tex]
Les nombres [tex]p[/tex] et [tex]q[/tex] étant premiers alors
[tex](a^2-n)=\pm 1, ou \pm p, ou \pm q ,ou \pm {pq}[/tex] et
[tex](c^2-n)= \pm{pq}, ou \pm q, ou \pm p, ou \pm 1[/tex]

bridgslam
18-07-2026 06:24:39

Bonjour,

Un mini défi arithmétique en lien avec la question...
Confirmer ou infirmer le fait que pour tout couple (p, q) de premiers, et tout n naturel ( précédemment n=38 , et pq=1441), lorsque l'équation précédente est soluble, la solution est unique ( à permutation près de a et c).

Bon courage

bridgslam
18-07-2026 05:12:53

Bonjour,

▼bien noter que...

Jpp , c'est cela, mais à mon sens  il faut aussi dire ( pour être complet)
que la factorisation ne peut pas être -11 x (-131) ( par exemple 27 n'est pas carré, ou encore un carré est positif)  avec d'autres applis numériques ça aurait pu très bien marcher...
Reste aussi à examiner le cas où un des facteurs est 1 ou -1...

jpp
18-07-2026 00:45:42

salut;

▼une solution

1441 = 11 x 131  = a²c² + 38² - 38a² - 38c² = (a² - 38).(c²- 38)  => a² = 49 et c² = 169 => a = 7 et c = 13

bridgslam
18-07-2026 00:03:42

Bonjour,

▼caché

Après une factorisation facile, je trouve que
(a, c) est (7,13) ou (13,7)

anthony_unac
17-07-2026 19:32:48
▼indication pour se remettre sur les rails

Développer le membre de gauche et chercher à factoriser par [tex]a^2[/tex] pour débuter puis par ...

yoshi
17-07-2026 17:11:51

Bonjour,

Merci Verdurin !
Tu m'ôtes un grand poids de la tête. Donc, pas de regrets...
Equation diophantienne et Bezout ça me disait quelque chose. Je suis allé rafraîchir ma mémoire (fin de mes études secondaires en 1966 : Bac Math elem puis la Fac. Donc ça commence à dater, vu que j'ai fêté mes 79 printemps en mars dernier) sans être plus avancé...
Et pour cause je n'avais entendu jamais parler d'équation de Pell-Fermat...
Y avait pourtant pas à aller bien loin : Equation de Pell-Fermat sur Bibmath.
J'me coucherai moins bête, ce soir..

Si Ernst passe par là, il se fera, j'en suis sûr, un plaisir d'interroger son IA préférée pour la solution...

@+
[EDIT
A quoi servait alors de décomposer 1441 ?.

yoshi
17-07-2026 16:39:59

Bonjour,

Merci Verdurin !
Tu m'ôtes un grand poids de la tête. Donc, pas de regrets...
Equation diophantienne et Bezout ça me disait quelque chose. Je suis allé rafraîchir ma mémoire (fin de mes études secondaires en 1966 : Bac Math elem puis la Fac. Donc ça commence à dater, vu que j'ai fêté mes 79 printemps en mars dernier) sans être plus avancé...
Et pour cause je n'avais entendu jamais parler d'équation de Pell-Fermat...
Y avait pourtant pas à aller bien loin : Equation de Pell-Fermat sur Bibmath.
J'me coucherai moins bête, ce soir..

Si Ernst passe par là, il se fera, j'en suis sûr, un plaisir d'interroger son IA préférée pour la solution...

@+

verdurin
17-07-2026 14:38:20

Bonsoir,
en posant $x=ac+38$ et $y=a+c$ on a une équation de Pell-Fermat : $x^2-38 y^2=1441.$
Et on vérifie à la main que $1441\equiv -3\mod 38$ puis que$-3$ est bien un carré modulo 38 car $15^2\equiv -3\mod 38.$

L'équation a donc des solutions entières.

anthony_unac
17-07-2026 14:36:56
▼indication

En gros, il faut trouver une façon de transformer une pseudo différence de deux carrés en un produit de deux nombres :
[tex](...)^2-n.(....)^2 = (....) * (....)[/tex]
Existe t il un outil pour faire ça ?

yoshi
17-07-2026 13:39:23

Ave,

▼ Et B-m était réveillé, lui ?

$(ac+38)^2= a^2c^2 + 1444 +76ac$
$38(a+c)^2 = (38a^2+38c^2+76 ac)$
D'où il vient :
$(ac+38)^2 - 38(a+c)^2 =  a^2c^2+ 1444 +76ac - (38a^2+38c^2+76 ac)$

$(ac+38)^2 -38(a+c)^2 = a^2c^2 + 1444 + 76ac - 38a^2 - 38c^2 -76 ac$

$(ac+38)^2-38(a+c)^2 = a^2c^2 + 1444  - 38a^2 - 38c^2 = 1441$

Et enfin :
$(ac+38)^2-38(a+c)^2 = a^2c^2 + 1444  - 38a^2 - 38c^2 = 1441$

$(ac+38)^2-38(a+c)^2 =1441- 1444$

   Soit
$(ac+38)^2-38(a+c)^2 = -3$

Et :
$a^2c^2- 38(a^2+c^2) =-3$
et non 3..

Avant tout calcul théorique, j'ai voulu vérifier une idée une idée  : que a et c ne soient autres que la décomposition de 1441...
Bin, j'ai été déçu, ça ne colle pas..                                                           

Alors maintenant, je suis probablement au bout du bout du bout...
Juste encore quelque chose à vérifier avant de rendre les armes !

 

@+

[EDIT] @ anthony_unac .
Si j'ai la somme S de 2 racines $x_1$ et $x_2$ d'une équation du 2nd degré et leur produit $P = x_1x_2$  , ces racines sont celles de l'équation
$x^2-Sx+P =0$
On pourrait poser $x_1=a^2$  et  $x_2=c^2$ , on aurait $S =a^2+c^2$  et  $P = a^2 c^2$

Mais de là, à faire coller avec $a^2c^2- 38(a^2+c^2) +3 =0$ pour identification avec : $x^2-Sx+P=0$, je ne vois pas...                                                         
@+

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