Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Je reviens une dernière fois sur ce fil avec une nouvelle question.
Je viens de modifier la figure du message #13 pour y ajouter l'ellipse de foyers $A$ et $B$ passant par $M_1$. Elle est osculatrice en $M_1$ au cercle $\Gamma$ et en conséquence, traverse ce cercle.
Il me semble que techniquement, $M_1$ n'est pas un extremum et qu'il n'y a finalement jamais 3 extrema.
Si c'est le cas, on s'est donné beaucoup de mal pour pas grand chose ...
Qu'en pensez-vous ?

Merci pour cette confirmation. À vrai dire, j'étais un peu inquiet : ai-je posté n'importe quoi avec cette courbe ?
Sur ma figure, la courbe en question n'est qu'un misérable lieu au sens de GeoGebra dont on ne peut absolument rien faire.
Il faut bien reconnaître qu'en certaines circonstances, les calculs ont non seulement un grand intérêt mais sont indispensables.
Côté "coïncidence", c'est tout à fait étonnant. Il y a certainement quelque chose à creuser. Il fallait la trouver cette factorisation !
De mon côté, ça fait déjà un petit moment que j'ai atteint mon niveau d'incompétence ...
Merci encore.

Bonjour Michel Coste,
Et merci pour tes efforts conséquents.
De mon côté, j'avais tenté d'éliminer $z$ entre deux équations complexes (Équation donnant les 4 racines correspondant aux intersections hyperbole/cercle unité et annulation du polynôme dérivé) :
$$\begin{cases}\overline{a}\overline{b}z^4-(\overline{a}+\overline{b})z^3+(a+b)z-ab=0\\4\overline{a}\overline{b}z^3-3(\overline{a}+\overline{b})z^2+a+b=0\end{cases}$$
pour obtenir une équation entre $a$, $b$ et leurs conjugués.
J'étais très naïf :  rapidement les calculs (à la main) deviennent inextricables. J'ai abandonné.
En désespoir de cause, je me suis tourné "ailleurs" où un certain pappus m'a donné un sérieux coup de pouce qui m'a permis de réaliser la figure de mon dernier message.
À ce sujet, il serait intéressant de voir ce que donne ton équation pour le lieu de $B$ à $A$ fixé. Obtient-on le même genre de courbe ? C'est peut-être beaucoup demander...
P.S. Je ne vois pas où tu veux en venir avec ta "coïncidence"

Bonjour,
La dernière question est probablement calculatoire.
Sur la figure suivante, sauf erreur de ma part toujours possible, $A$ étant fixé, on peut voir le lieu de $B$ (la partie intérieure à $\Gamma$) pour qu'il y ait exactement 3 extrema.
Remarquer l'ellipse de foyers $A$ et $B$ passant par le point double $M_1$ osculatrice à $\Gamma$

Pas folichon ...
[Edit] Modifié la figure pour y ajouter la cubique.

Bonjour,
Une figure où sont superposées la cubique de Michel Coste et l'hyperbole équilatère bien sûr homologues dans l'inversion définie par le cercle $\Gamma$ :

Un autre cas de dégénérescence survient lorsque $O,A,B$ sont alignés.
Extrema sur un cercle

Bonjour,
Que les points $O,A,B,M_1,M_2$ soient cocycliques n'est pas une surprise : le cercle $OAB$ est l'homologue de la droite $(A'B')$ dans l'inversion définie par le cercle $\Gamma$.
Plutôt qu'une cubique, Je préfère pour 2) une hyperbole équilatère qui dégénère, lorsque $O$ est sur la médiatrice de $[AB]$, en la réunion de cette médiatrice et de la droite $(A'B')$.

Bonjour,
Il s'agit donc, pour cette question 1) de déterminer les points de contact des ellipses de foyers $A$ et $B$ tangentes au cercle $\Gamma$.
Ou encore, comme l'a précisé Michel Coste, de déterminer les points $M$ du cercle $\Gamma$ pour lesquels $(MO)$ est la bissectrice de l'angle $(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})$.
On identifie le cercle $\Gamma$ au cercle trigonométrique sans perte de généralité.
On peut procéder par calculs cartésiens avec $A(-a,b)$, $B(a,b)$ et $M(\cos\,t,\sin\,t)$.
J'ai abouti plus ou moins péniblement à cette équation (je ne m'y suis peut-être pas pris de la meilleure manière qui soit) :
$$\cos\,t[(a^2+b^2)\sin^2t-b(a^2+b^2+1)\sin\,t+b^2]=0$$
Sans surprise, l'équation $\cos\,t=0$ correspond aux points de contact $P$ et $Q$.
L'équation du second degré en sinus donne :
- $\sin\,t=b$ qui correspond à l'intersection de $(AB)$ avec le cercle $\Gamma$. C'est une solution parasite qui provient de la manière dont j'ai mené les calculs.
- $\sin\,t=\dfrac{b}{a^2+b^2}$. C'est cette solution qui nous intéresse. On peut remarquer, pour une interprétation géométrique ultérieure, une similitude avec l'expression analytique de l'inversion déterminée par le cercle $\Gamma$.
Mais il est beaucoup plus simple et élégant (oui, des calculs peuvent être élégants) de procéder, à la manière d'un Rescassol, avec des calculs en complexes.
Les points $A$, $B$ et $M$ ont pour affixes $a$, $b=-\bar{a}$ et $m$ avec $|m|=1$.
Un préalable avec une figure :

Dire que $(MO)$ est la bissectrice de $(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})$ revient à dire que $A$, $M$ et $B'$ (symétrique de $B$ par rapport à la tangente au cercle $\Gamma$ en $M$) sont alignés.
L'écriture complexe de la symétrie d'axe $T_M$ est $z'=-m^2\overline{z}+2m$ (à prouver éventuellement).
Donc $b'=m^2a+2m$
Il reste à écrire que le rapport $\dfrac{m-b'}{m-a}$ est réel compte tenu que $m\bar{m}=1$
On tombe sans difficulté sur l'équation :
$$(m+\overline{m})\left[m^2+\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{\overline{a}}\right)m-1\right]=0$$
Comme de juste l'équation $m+\overline{m}=0$ ($m$ imaginaire pur et de module 1) correspond aux points de contact $P$ et $Q$
De l'équation du second degré, on tire :
$\Im (m)=\dfrac{m-\overline{m}}{2i}=\dfrac{m^2-1}{2im}=\dfrac{\dfrac{1}{\overline{a}}-\dfrac{1}{a}}{2i}$
$$\Im(m)=\Im\left(\dfrac{1}{\overline{a}}\right)$$
La droite définie par les inverses $A'$ et $B'$ de $A$ et $B$ par rapport au cercle $\Gamma$, si elle est sécante avec ce cercle, donne donc les points de contact $M_1$ et $M_2$.
Pour que ces points d'intersections (distincts) existent, il faut que $-1<\Im\left(\dfrac{1}{\overline{a}}\right)<1$
Un minuscule calcul montre que $A$ (et donc $B$) doivent être extérieurs aux cercles de diamètres $[OP]$ et $[OQ]$ :

Reste la question 2) ($A$ et $B$ quelconques) où il n'est plus question de construction géométrique. 
Les mêmes calculs permettent d'aboutir aux intersections d'une hyperbole équilatère et du cercle $\Gamma$.

Bonjour,
Un démarrage (je ne sais pas s'il mène facilement au but, faute de temps pour réfléchir) : quels sont le points $M$ du cercle tels que la droite $OM$ soit la bissectrice intérieure de l'angle formé par les demi-droites $[MA)$ et $[MB)$ ?