Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour Bernard-maths,
Avant de se lancer ailleurs (le cas du carré est simple), il faut commencer par résoudre proprement ce problème.
En l'occurrence, GeoGebra est une aide mais ne "construit" rien. Dans ce forum de belle géométrie, il faut s'entendre sur ce que signifie le verbe construire$\cancel{!}$
Limitons nous à la question 1) (je ne me fais pas d'illusions pour la 2)) : GeoGebra nous permet de constater qu'on peut avoir 2,3 ou 4 extrema. Il est demandé de "discuter".
Autrement dit dans quels cas a-t-on 2,3 ou 4 extrema  ? Et les construire (dans le cas 4) avec règle et compas.
Je me permets de citer mon Maître :

Bonjour,
Je tenais à partager avec vous un exercice que m'a soumis un ami virtuel, Maître Géomètre.
Est donné un cercle $\Gamma$ de diamètre $[PQ]$ ainsi que deux points $A$ et $B$ intérieurs au cercle.
On cherche les extrema de la fonction $f\,:\,\Gamma\rightarrow \mathbb{R}$ définie par $M\mapsto MA+MB$ :
1) Discuter le nombre de ces extrema et les construire lorsque $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à $[PQ]$.

2) Même question lorsque $A$ et $B$ sont quelconques.
Un exemple avec deux extrema (il peut y en avoir davantage) :

Commentaires : la question 1) est accessible a un bon élève de terminale. La seconde est un peu plus délicate.
Dans tous les cas, des calculs sont indispensables mais il est nécessaire de les interpréter pour revenir à la géométrie et à des constructions.