Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Bien sûr Michel Coste : une solution simple et un peu calculatoire est toujours la bienvenue. Merci à toi.
En fait, j'avais trouvé ce célébrissime problème (Arbelos et cercles d'Archimède) dans le Iliovici et Robert comme application de l'inversion. Exercice classé "C", c'est à dire difficile. Je continue dans la même veine.
Une nouvelle figure :

Les deux cercles vert et rouge du bas de la figure sont les homologues des cercles tri-tangents dans l'inversion de pôle $C$ (et de puissance $-CD^2$). Par construction, ils sont disjoints "extérieurement" (excepté lorsque $C$ est milieu de $[AB]$).
$I$ est le centre de l'homothétie positive (point de concours des tangentes extérieures) qui échange les deux cercles.
C'est aussi le pôle de l'inversion positive qui les échange. Est reporté le cercle d'inversion $\Gamma$ correspondant.
On consulte maintenant la page 260 du Lebossé & Hémery en particulier le minuscule corollaire 409 :

Reste à montrer que $C$ pôle de l'inversion utilisée appartient à $\Gamma$ et c'est fini.
On a en prime la droite $\Delta$ inverse de $\Gamma$ dans l'inversion de pôle $C$ et axe de symétrie des deux cercles.
[Edit] Modifié la figure avec une construction de $I$ et pour faire apparaître la preuve que $C\in\Gamma$

Bonjour à tous, bonjour Bernard-maths,
Une première approche du niveau d'un lycéen voire d'un collégien avec une figure :

Dans le triangle $OO'_1O_1$, on exprime la hauteur $h=O'_1H$ de deux manières différentes avec Pythagore :
${h}^{2}={O_1O'_1}^{2}-{O_1H} ^{2}={OO'_1} ^{2}-{OH}^{2}$
$h^2=(r_1+r)^2-(r_1-r)^2=(r_1+r_2-r)^2-(r_2-r_1+r)^2$
Tout calculs faits, on obtient la jolie formule (à un coefficient 2 près, une moyenne harmonique) :
$$\dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}$$
Bien sûr, vu la symétrie de la formule en $r_1$ et $r_2$, on obtient la même chose avec l'autre cercle.
Une fois cette formule établie, on peut en déduire une construction géométrique des deux cercles tri-tangents :

Une seconde approche (et c'est un peu le but de ce fil) est de construire les deux cercles sans à priori sur l'égalité des rayons à l'aide d'une inversion.
J'ai choisi l'inversion de pôle $C$ qui échange $A$ et $B$ donc de puissance $-CD^2$. Le cercle d'inversion positive figure en trait pointillé fin. On la compose avec la symétrie centrale de centre le pôle $C$ pour obtenir l'inversion choisie.
Tout ce qui est utilisé se résume à la conservation du contact par inversion.
On peut observer la figure attentivement pour la décortiquer :

Bonsoir à tous !

Je vois que caliloux cherche la bagarre ... j'ai un peu cherché mais je tourne en rond, et je cogite d'autres trucs ... alors  (:-)

Bonne soirée, B-m