Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Monaco 2021, Max Verstappen roule en tête depuis des dizaines de tours. Son équipe doit prendre une décision : rentrer aux stands pour changer ses pneus, ou,  rester en piste et espérer tenir jusqu’à l’arrivée. Chaque choix engage des dizaines de secondes, une position et peut-être la victoire.
Cette décision prise en quelques secondes n’est pas que tactique. Elle repose sur des calculs : des probabilités, des espérances, des modèles mathématiques qui tournent en temps réel dans les ordinateurs des écuries.
C’est pourquoi je me suis posé la question suivante : Comment l’espérance mathématique permet-elle d’optimiser une stratégie d’arrêt au stand en Formule 1 ?

I.
En Formula 1, au cours d’un Grand Prix, les pilotes doivent obligatoirement changer de pneus au moins une fois. Il existe plusieurs types de pneus, adaptés aux conditions de course et aux différentes stratégies. Cependant, ces pneus ont une durée de vie limitée : ils peuvent parcourir environ 20 à 35 tours avant de perdre en performance. Il est donc nécessaire de les remplacer à un moment donné. Pour cela, les pilotes effectuent un arrêt aux stands, durant lequel leur équipe change les pneus. Mais ces arrêts coûtent plusieurs secondes précieuses, ce qui rend le choix du moment particulièrement stratégique. Chaque arrêt au stand prend environ 25 secondes au total. En échange, le pilote repart avec des pneus neufs qui lui permettent d’aller plus vite, environ 1,5 secondes par tour de gain. Sur un Grand Prix de 50 tours, le calcul brut semble favorable.
Mais le problème est bien plus complexe, l’environnement de la course est aléatoire. Plusieurs évènements peuvent survenir et bouleverser les calculs. Pour modéliser mathématiquement ce problème, je vais introduire trois variables aléatoires qui représentent les principales sources d’incertitude d’une course à Monaco:

- la première est la variable aléatoire V, qui représente l’apparition d’une voiture de sécurité appelée Safety car. Une voiture de sécurité est un véhicule qui sert à neutraliser le déroulement d'une compétition automobile lorsqu’un incident est survenu sur la piste comme un impact entre deux monoplaces qui aurait laissé des débris ou encore une sortie de piste. Lors de l’intervention d’une Safety car toutes les monoplaces doivent alors ralentir. Cette variable prend  la valeur 1 si une Safety car intervient pendant la course et la valeur 0 sinon.
Monaco est historiquement connu pour ses virages très serrés et constitue le circuit avec le plus d’incidents. On estime donc la probabilité qu’il y ait une Safety Car à 75 %, et la probabilité qu’il n’y en ait pas à 0,25 %. Ce qui se traduit mathématiquement par P(V=1)=0,75 et P(v=0)=0,25. 

- la deuxième est la variable aléatoire P, qui représente la pluie. Elle vaut 1 s’il pleut et 0 sinon. Monaco se court en mai, la pluie est donc possible mais pas fréquente, on estime donc la probabilité qu’il y ait de la pluie à 25 % et la probabilité qu’il n’y en ait pas à 75 %. Ce qui se traduit mathématiquement par P(P=1)=0,25 et P(P=0)=0,75.

- la troisième est la variable aléatoire D, qui représente une dégradation rapide des pneus. Elle vaut 1 si les pneus s’usent vite et 0 sinon.
A Monaco, les vitesses sont faibles et les pneus relativement préservés, donc on estime la probabilité que les pneus se dégradent rapidement à 15 % et la probabilité que leur dégradation soit lente à 85 %. Ce qui se traduit mathématiquement par  P(D=1)=0,15 et P(D=0)=0,85.
Chacune de ces variables modifie le temps final selon la stratégie choisie. Par exemple, si une voiture de sécurité apparaît, un arrêt aux stands devient presque gratuit : au lieu de perdre 22 secondes en conditions normales, on ne perd que 5 secondes pendant la neutralisation. C’est une opportunité énorme. Inversement si la dégradation des pneus est lente, un arrêt supplémentaire est inutile.
Le problème est donc bien un problème de décision sous incertitude, c’est exactement le cadre dans lequel l’espérance mathématique s’applique.

II.
Comparons deux stratégies concrètes. Nous sommes à Monaco, il reste 15 tours. Le pilote est en tête mais ses pneus ont déjà fait 16 tours.
La stratégie A consiste à rester en piste sans s’arrêter.
La stratégie B consiste à rentrer aux stands maintenant.

A Monaco un arrêt coûte environ 22 secondes ( c’est moins que la moyenne car la pit lane est courte). En échange des pneus neufs rapportent environ 1 seconde par tour soit 15 secondes sur 15 tours.
On suppose ici que seule la Safety Car est prise en compte, pour simplifier le modèle.

On modélise le temps perdu par une variable aléatoire X, en fonction de la variable V.
Pour chaque stratégie, on calcule l’espérance E(X), donnée par la formule
E(X)=∑pi×xi  (i est un indice). L’espérance étant une moyenne.

Calculons l’espérance du temps perdu avec la stratégie A.
- Si il n’y a pas de Safety car, V=0 et  la probabilité =0,25. Dans ce cas les pneus usés font perdre 15 secondes. (X=15)
De plus, s’il y a une Safety car, V=1 et la probabilité =0,75. Dans cette situation, les pneus sont usés mais la course est neutralisé ce qui veut dire que tout le monde ralentit et que l’on perd environ 10 secondes. (X=10)

E(X)=15*0,25+10*0,75= 3,75+7,5= 11,25 secondes perdues

Maintenant calculons l’espérance du temps perdu avec la stratégie B :
- Si il n’y a pas de Safety car, V=0 et la probabilité  =0,25. Dans ce cas l’arrêt coûtera 22 secondes, mais les pneus neufs rapportent 15 secondes, la voiture perdra donc seulement 7 secondes. (X=7)
Et si il y a une Safety car, V=1 et la probabilité =0,75. Dans cette situation l’arrêt pendant l’intervention de la voiture de sécurité coûte seulement 5 secondes, les pneus neufs rapportent 15 secondes, la monoplace ne perd donc pas de temps. (X=0)

E(X)=7*0,25+0*0,75= 1,75 secondes perdues

La comparaison est claire E(B)< E(A). D’après la moyenne, s’arrêter maintenant serait plus avantageux (stratégie B),l’arrêt permet un gain net de temps par rapport à une stratégie sans arrêt.
Cependant, cela ne signifie pas que B est toujours meilleure dans une course réelle, mais qu’elle est meilleure en moyenne sur un grand nombre de courses. Mon calcul d’espérance est donc très simplifié. Dans la réalité, les variables sont bien plus nombreuses et leurs interactions trop complexes pour être résolus analytiquement.

III.
Si on voulait être plus précis, il faudrait considérer les trois variables simultanément, ce qui reviendrait à calculer une espérance sur plusieurs variables, ou utiliser des simulations
C’est ici qu’intervient la méthode de Monte-Carlo. Le principe est le suivant : au lieu de calculer une espérance exacte, on simule des milliers, parfois des centaines de milliers de courses virtuelles.

Chaque simulation tire aléatoirement une valeur pour chaque variable : la pluie arrive ou non, la Safety car apparaît au tour 32 ou pas, la dégradation des pneus est lente ou rapide. On enregistre le résultat de chaque course simulée, puis on calcule la moyenne des résultats pour chaque stratégie. Cette moyenne est une approximation numérique de l’espérance mathématique. Plus le nombre de simulations est grand plus elle est précise, c’est la loi des grands nombres.

Certaines équipes lancent 50 000 simulations en quelques secondes pour recommander une stratégie à leur pilote par l’intermédiaire de la radio.

Ce qui était un calcul de probabilité fait à la main devient, à cette échelle, un outil d’aide à la décision d’une précision redoutable.

Ainsi , nous avons vu que la décision d’arrêt en Formule 1 n’est pas instinctive : elle repose sur une modélisation probabiliste rigoureuse.
Les variables aléatoires permettent de représenter l’incertitude de la course. Le calcul d’espérance mathématique transforme ces probabilités en aide à la décision. Et les simulations de Monte-Carlo permettent de passer à une échelle industrielle, là où le calcul analytique devient insuffisant. Ce modèle présente toutefois plusieurs limites. D’abord, il repose sur des hypothèses simplificatrices, comme l’indépendance des variables ou le fait de ne considérer qu’un nombre réduit de facteurs, alors qu’en réalité une course de Formula 1 dépend de nombreux paramètres simultanés, comme le trafic en piste ou les stratégies des autres équipes. Ensuite, les probabilités utilisées sont des estimations, qui peuvent être imprécises ou évoluer en cours de course. Enfin, l’espérance mathématique donne une moyenne, mais elle ne garantit pas le meilleur résultat dans une situation particulière : une stratégie peut être optimale en moyenne mais conduire à une perte dans un cas précis. Ces limites montrent que les modèles probabilistes sont des outils d’aide à la décision, mais qu’ils ne remplacent pas totalement le jugement humain.
Voici mon grand oral de maths, j'ai l'impression que mes calculs sont faux ?