Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Je ne sais pas de quelle preuve tu parles ni où tu en es précisément. Je vais donc parler un peu en général d'une stratégie "à la main" pour montrer que le groupe fondamental du cercle est bien $\mathbb{Z}$.

On voit le cercle comme $S^1=\{e^{i\theta}, \theta\in \mathbb{R}\}\subset \mathbb{C}$ muni de la topologie induite par celle de $\mathbb{C}$. Le groupe fondamental du cercle qu'on note généralement $\pi_1(S^1)$ est le groupe des classes d'équivalence des lacets pour la relation d'homotopie. Si on a $\gamma : [0,1]\to S^1$ une fonction continue avec $\gamma(0)=\gamma(1)=1$ on dit que $\gamma$ est un lacet. On dit deux lacets $\gamma$ et $\gamma'$ sont homotopes si on peut déformer continument $\gamma$ pour obtenir $\gamma'$. Plus formellement cela revient à demander l'existence d'une application continue $H : [0,1]\times [0,1]\to S^1$ telle que $H(0,\cdot)$ soit $\gamma$, $H(1,\cdot)$ soit $\gamma'$ et pour tout $t\in [0,1]$ on a $H(t,0)=H(t,1)=1$ (en gros chaque $H(t,\cdot)$ est bien un lacet). La relation d'homotopie est une équivalence et on note $[\gamma]$ la classe d'équivalence d'un lacet $\gamma$. Le groupe fondamental $\pi_1(S^1)$ est juste l'ensemble des classes d'équivalences des lacets munis d'une loi de multiplication qui est juste la composition des lacets (suivre un lacet puis un autre lacet). Il faut vérifier que tout cela est compatible avec la relation d'équivalence d'homotopie mais ce n'est pas trop dur.

Maintenant l'objectif est de montrer que $\pi_1(S^1)$ est isomorphe à $\mathbb{Z}$ en tant que groupe.

Pour $n\in \mathbb{Z}$ on pose $\forall x\in [0,1],\ e_n(x)=e^{2i\pi nx}$ alors $e_n$ est un lacet qui moralement décrit $n$ tours dans $S^1$ (dans le sens trigonométrique si $n>0$ et dans le sens anti-trigonométrique si $n<0$).

On pose $\Psi : \mathbb{Z} \to \pi_1(S^1), n\mapsto [e_n]$
L'application $\Psi$ est un morphisme de groupe, cela se voit car faire $n$ tours puis $m$ tours revient à faire $n+m$ tours.

Reste à voir que $\Psi$ est bijectif.
Une idée pour cela est de réussir à définir pour un lacet arbitraire $\gamma : [0,1]\to S^1$ son nombre de tours $N(\gamma)\in \mathbb{Z}$. On vérifiera ensuite assez facilement que $N$ ne dépend que de la classe d'homotopie de $\gamma$ et que $N$ et $\Psi$ sont réciproques l'un de l'autre.

Pour cela l'idée est de relever le chemin $\gamma$.
On a le fait suivant : Pour tout fonction continue $\gamma : [0,1]\to S^1$ avec $\gamma(0)=1$ alors il existe une unique fonction continue $\Theta : [0,1]\to \mathbb{R}$ vérifiant $\Theta(0)=0$ et telle que pour tout $x\in [0,1]$ alors $\gamma(x)=e^{2i\pi\Theta(x)}$. L'application $\Theta$ est appelée le relèvement de $\gamma$. En gros $\Theta(x)$ est l'argument de $\gamma(x)$ qui varie continument. NB : ce n'est pas si trivial de prouver proprement l'existence de $\Theta$ en revanche l'unicité est assez simple.
Ce relèvement $\gamma\to \Theta$ est l'inverse de la fonction exponentielle dont tu parles.

Ex : Si $\gamma=e_n$ alors on a immédiatement $\Theta(x)=nx$

Maintenant si $\gamma$ est un lacet alors on note $N(\gamma)=\Theta(1)$ où $\Theta$ est le relèvement de $\gamma$. On vérifie que $\Theta(1)$ est bien dans $\mathbb{Z}$ car $\gamma(1)=e^{2i\pi\Theta(1)}=1$.

Reste à montrer que si $\gamma$ et $\gamma'$ sont homotopes alors $\Theta(\gamma)=\Theta(\gamma')$. Ca fait longtemps que j'ai vu ça, je pense qu'une idée est de partir d'une homotopie $H$ qui réalise la déformation continue de $\gamma$ vers $\gamma'$ et considérer $t_0\in  [0,1]$ l'infimum des $t\in [0,1]$ tels que $N(\gamma_t)\neq N(\gamma)$ où $\gamma_t$ est juste $H(t,\cdot)$. En gros si $N(\gamma)\neq N(\gamma')$ alors on regarde dans la déformation $H$ le premier moment où ça se passe mal... (je pense qu'on doit pouvoir aboutir à une contradiction mais je ne l'ai pas écrit bien au propre).

Reste également à montrer que $N$ et $\Psi$ sont inverses l'un de l'autre. Il est clair que $N\circ \Psi$ fait bien l'identité de $\mathbb{Z}$. Pour voir que $\Psi\circ N$ est bien l'identité, on peut prendre $\gamma$ un lacet, $\Theta$ son relèvement et on pose $H(t,x)=e^{2i\pi((1-t)N(\gamma)x+t\Theta(x))}$ et on vérifie que cela réalise bien une homotopie entre $\gamma$ et $e_{N(\gamma)}$.

PS : une mine d'or pour étudier ce sujet est le site https://analysis-situs.math.cnrs.fr/

Bonne journée