Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Imagine le problème suivant, tu as une fonction $f$ de $\mathbb{R}$ dans lui même que tu sais reprenter (par exemple $f(x)=3+5x-x^2$. Tu as ensuite une suite $u$ definie par son premier terme $u_0$ et la relation $u_{n+1}=f(u_n)$. Plaçons nous dans un repère dans lequel tu as tracé le graphe de $f$, l'objectif est de construire à la main (avec une règle et un crayon) les valeurs $u_1,u_2,u_3,\dots$

Pour $u_1$ c'est très facile, tu place le point $u_0$ sur l'axe des abscisses, tu traces un trait vertical jusqu'à tomber sur le graphe de $f$ puis un trait horizontal jusqu'à tomber sur l'axe des ordonnées. Alors le point obtenu sur l'axe des ordonnées est juste $u_1=f(u_0)$.

Mais comment tracer $u_2$ ? on sait que $u_2=f(u_1)$, donc il faudrait que $u_1$ soit sur l'axe des abscisses et non des ordonnées pour trouver graphiquement $u_2$ comme précédemment.

C'est là qu'intervient la première bissectrice d'équation $y=x$, on la représente sur le même repère et, partant d'un point $u_1$ sur l'axe des ordonnées, on peut obtenir le point $u_1$ sur l'axe des abscisses en se déplaçant horizontalement partant des ordonnees vers la premiere bissectrice puis verticalement vers l'axe des abscisses.

Cette première bissectrice n'est qu'un outil qui permet de placer sur l'axe des abscisses des points qui ont été construits sur l'axe des ordonnées.

Une fois que $u_1$ est sur l'axe des abscisses, on construit $u_2$ sur l'axe des ordonnées à l'aide du graphe de $f$, puis on construit $u_2$ sur l'axe des abscisses à l'aide de la première bissectrice, cela permet d'iterer le procédé et de construire autant de termes qu'on veut de manière graphique.

De cette manière on obtient une construction qui s'appelle construction en escalier ou en escargot (je pense que trouveras des references si tu tapes ça qur ton moteur de recherche).

Par ailleurs, là on ne parle que de représentation graphique, mais même pour l'étude mathématique de la suite, connaître la positition relative entre le graphe de $f$ et la première bissectrice a de l'intérêt !

Bonne journée