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Bonjour !

Pour répondre directement : non, la convergence simple de la série et la convergence de la série des polynômes $P_n$ ne suffisent pas pour garantir que la somme possède un Développement Limité (DL). En analyse, dès que l'on veut intervertir deux limites (ici la limite de la série $\sum$ et la limite du DL $x \to x_0$), il faut généralement une forme de convergence uniforme ou une domination par une série convergente.

Le problème majeur est le contrôle du "petit o". Pour chaque $f_n$, vous avez :$f_n(x) = P_n(x-x_0) + \varepsilon_n(x)(x-x_0)^m$ avec $\lim_{x \to x_0} \varepsilon_n(x) = 0$.
Si vous sommez ces égalités, vous obtenez un reste de la forme :
$$R(x) = (x-x_0)^m \sum_{n=0}^{+\infty} \varepsilon_n(x)$$
Pour que la somme totale admette un DL, il faudrait que $\lim_{x \to x_0} \sum_{n=0}^{+\infty} \varepsilon_n(x) = 0$. Or, la limite d'une somme n'est la somme des limites que s'il y a convergence uniforme de la série des restes. Sans cela, le reste global pourrait "exploser" ou ne pas tendre vers 0 assez vite, même si chaque reste individuel est négligeable.

Pour affirmer que $S(x) = \sum f_n(x)$ admet un DL d'ordre $m$ en $x_0$, on utilise généralement (à ma connaissance) le Théorème de dérivation terme à terme (qui est le cadre naturel pour les DL via Taylor-Young) ou des conditions sur la convergence uniforme.

Si vous voulez un contre exemple le voici :
Considérons $f_n(x) = \frac{x^2}{1+n^2x^2}$ en $x_0 = 0$.
Chaque $f_n$ admet un DL d'ordre 1 qui est $0 + o(x)$. La série des polynômes (tous nuls) converge. Pourtant, si on regarde la somme, selon la vitesse de convergence, on peut obtenir des comportements qui ne respectent pas le DL attendu.

J'espère avoir répondu à votre question !