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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- germain32
- 13-03-2026 13:14:59
Merci j'ai déjâ montré que tout intervalle ouvert de R
Est équipotent à R
- DeGeer
- 13-03-2026 12:01:48
Bonjour
Tu peux montrer que $\mathbb{R}$ est équipotent à $]0,1[$, puis que $]0,1[$ est équipotent à $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ (l'ensemble des suites à valeurs dans $\{0,1\}$) et enfin que $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ est équipotent à $\mathcal{P}(\mathbb{N})$.
- germain32
- 13-03-2026 11:25:23
Merci de ta réponse, effectivement y a un problème
- bridgslam
- 13-03-2026 11:01:53
Bonjour,
Ta représentation ne concerne pas tous les réels, qui peuvent être négatifs, et la partie devant la virgule n'est pas toujours 0.
- germain32
- 12-03-2026 22:45:44
Bonjour,
Je propose une démonstration de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ équipotent à $\mathbb{R}$ utilisant
le théorème de Cantor-Bernstein et j'aimerais que l'on me dise si ça fonctionne.
1) Soit $A \in { \mathcal{P}(\mathbb{N})} $, on pose $f(A)=0,1a_0a_1a_2\ldots a_n \ldots$
avec $a_k = 1 $ si $k\in{A} $ et $a_k = 0 $ sinon.
$f$ est une injection de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ dans $\mathbb{R}$.
2) Soit $x \in {\mathbb{R}}$ on développe $x$ en base 5 et on obtient $0,a_0a_1a_2\ldots a_n \dots$ où les $a_k \in { \{0,1,2,3,4\}}$
On pose $g(x) = \{a_0 , 5+a_1 , 10+a_2, \ldots , 5n+a_n , \ldots \}$
$g$ est une injection de $\mathbb{R}$ dans $\mathcal{P}(\mathbb{N})$.
Et on conclut avec le théorème de Cantor-Bernstein.
Voilà, j'attends vos avis
Merci