Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

D'autant qu'il demandait un nombre de cases , pas de configurations de cases...
Le calcul serait donc à multiplier par $p$ ?
Bref sa question et sa solution proposée sont assez douteuses.

Bravo ! Mais j'ai vraiment suivi cela en survolant, et du coup retrouvé le bon fil en fin de conte (ou compte ?) !

Merci pour tes relances ...

B-m

Donc c'est ce que tu as écs en #12 ...?

Et pourquoi pas A_M^p * A_N^p / p! ???

B-m

Bonsoir,

@Bernard:
Graphiquement cela s'interprète en un sous-quadrillage p x p ( combien ?)  , puis par exemple pour chaque ligne spécifier  à quelle colonne on place sa croix, ce qui donne pour chaque quadrillage choisi p x p ,  p! options.

Si tu raisonnes (comme je l'ai fait à tort ) choix de cases  les uns après les autres (donc dans un ordre quelconque ) les mêmes  réseaux de croix vont se retrouver  à permutations près, le résultat sera p! fois trop grand.

Bonjour ,

C'est vrai que le troisième facteur du produit cartésien dépend des choix des éléments dans les deux premiers.
Je suis d'accord avec toi et ça ne fait pas sens.
Je voulais exprimer formellement les coupes graphiques
( horizontales-verticales),
puis les affections bijectives horizontales-verticales après ces coupes.
En revenir à ta formulation succinte est suffisant et plus simple.
As-tu en bonus une idée de la solution à la question annexe "exprimer sous forme d'ensemble l'ensemble des configurations" ?
Par exprimer j'entends une expression formelle entre ensembles à déterminer et opérations usuelles entre eux.
Ta démarche consistant à exprimer une réunion d'ensembles de couples, je me pose juste la question.
Merci

Alors s'il te plait, Bernard-maths, explique nous comment tu fais pour compter 4 façons de cocher correctement 2 cases sur un quadrillage 2x2 ? Il te faut en trouver deux de plus que ceux-là :

Hum hum, Bridgslam. Peux-tu préciser ce qu'est ton ensemble $S_p$ ? "L'ensemble des bijections entre eux", ça ne tient pas tellement la route vu que les ensembles de départ de ces bijections et les ensembles d'arrivée varient respectivement dans $L_p$ et dans $C_p$. Ton produit cartésien ne fait pas sens.
Je rappelle la description succincte que j'ai donnée plus haut :
1°) On fait le choix d'une partie $E$ à $p$ élément de l'ensemble des lignes ; il y a $C_M^p$ choix possibles.
2°) $E$ étant choisi, on fait le choix d'une injection $f$ de $E$ dans l'ensemble des colonnes ; il y a $A_N^p$ choix possibles.
Les cases cochées sont les $(i,f(i))$ pour $i\in E$.
Ceci montre que le nombre de façons de cocher correctement $p$ cases dans la grille est $C_M^p\times A_N^p$.
Si l'on tient absolument à voir un produit cartésien, on peut numéroter chaque $E$ de 1 à $p$ dans l'ordre des indices de lignes, ce qui identifie une injection de $E$ dans l'ensemble des colonnes à une injection de $\{1,\ldots,p\}$ dans l'ensemble des colonnes. Dans ta description, il faudrait numéroter chaque élément de ton $L_p$ comme ci-dessus, numéroter aussi chaque élément de ton $C_p$ dans l'ordre des indices de colonnes, de sorte que ton $S_p$ serait simplement l'ensemble des permutations de $\{1,\ldots,p\}$.
Je préfère ma description succincte.