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Bonjour à tous,

Une droite qu'on peut construire : voir les milieux $I$ et $J$ des segments $[CF]$ et $[DE]$.
Pour chaque centre $O$ de cette droite, on peut aussi construire le carré $A_1A_2A_3A_4$ correspondant via la symétrie centrale de centre $O$.

Ce ne sont que quelques remarques sans prétention ...

une précision puisque je viens de le voir avec la matrice de q dans la base (i,j)
si un tel carré ABCD existe alors ces 6 coniques sont toujours des ellipses

Ce message ne nous avait pas échappé :)
Cailloux continue à participer .
Imod

Bonjour Imod
Dans ce cas je posterai directement les solutions des rapports a,b,c,d sans aucunes explications
Il suffira de les prendre et puis si quelqu'un me demande comment je les ai eu eh bien j'ouvrirai un sujet voilà tout
Je trouve que c'est plus civilisé que de se parler au lieu d'ouvrir un sujet comme Cailloux l'a fait et me traiter ainsi comme un pestiféré (ce que je ne suis pas)

Que dois-je comprendre de Cailloux ? Que ce n'est pas la peine que je continue avec ce que je propose ici?
SI c'est le cas alors très bien car après tout c'est votre sujet. Je ne sais pas trop quoi penser de votre sujet ouvert à côté sans même me répondre directement. N'ayez pas peur de me parler, je n'ai pas la peste

Bonjour
En ce qui me concerne j'ai choisi de traiter ce problème en utilisant des barycentres.
Les solutions sont données par a,b,c,d et qui sont des rapports d'homothéties.
Ces rapports peuvent êtres représentés par des coordonnées cartésiennes de points situés sur des coniques  (au total six coniques) dans un repère orthonormé.   
Chaque rapport de ces homothéties est une des deux coordonnées d'un point situé sur les coniques qui lui correspondent.

Donc voilà ce que j'ai obtenu précisément mais je poste que la première partie de mon propos avec une première image pour l'accompagner:
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On dispose d'un ensemble défini par quatre droites lesquelles sont elles aussi définies
Écrivons  $\{(A_1A_2),(B_1B_2),(C_1C_2),(D_1D_2)\}$ cet ensemble
On va supposer qu'il existe un carré $ABCD$ tel que toute droite de cet ensemble porte un sommet de ce carré
et tout sommet de ce carré est porté par une droite de cet ensemble

On va supposer aussi que:
La droite $(A_1A_2)$ porte $A$
La droite $(B_1B_2)$ porte $B$
La droite $(C_1C_2)$ porte $C$
La droite $(D_1D_2)$ porte $D$

Deux conséquences triviales s'imposent alors:

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Première conséquence triviale :

Ces droites étant définies alors on a :
$A_1A_2\neq 0$
$B_1B_2\neq 0$
$C_1C_2\neq 0$
$D_1D_2\neq 0$
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Deuxième conséquence triviale:

Comme il s'agit d'un ensemble défini par quatre éléments lesquels sont des droites alors on a:

$A_1$ et $A_2$ ne peuvent simultanément appartenir  à l'une des trois droites $(B_1B_2),(C_1C_2),(D_1D_2)$
$B_1$ et $B_2$ ne peuvent simultanément appartenir  à l'une des trois droites $(C_1C_2),(D_1D_2),(A_1A_2)$
$C_1$ et $C_2$ ne peuvent simultanément appartenir  à l'une des trois droites $(D_1D_2),(A_1A_2),(B_1B_2)$
$D_1$ et $D_2$ ne peuvent simultanément appartenir  à l'une des trois droites $(A_1A_2),(B_1B_2),(C_1C_2)$

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Passons au choix de traitement du problème

On va choisir de travailler avec des barycentres où les poids sont des rapports d'homothéties

-Comme $A\in (A_1A_2)$ on peut donc considérer que:
$A$ est l'image de $A_2$ par l'homothétie de centre $A_1$ et de rapport a
-Comme $B\in (B_1B_2)$ on peut donc considérer que:
$B$ est l'image de $B_2$ par l'homothétie de centre $B_1$ et de rapport b
-Comme $C\in (C_1C_2)$ on peut donc considérer que:
$C$ est l'image de $C_2$ par l'homothétie de centre $C_1$ et de rapport c
-Comme $D\in (D_1D_2)$ on peut donc considérer que:
$D$ est l'image de $D_2$ par l'homothétie de centre $D_1$ et de rapport d

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On obtient les résultats immédiats suivants:

Les rapports $a,b,c,d$ sont donnés par les expressions:

$a=\dfrac {A_1A^2-A_2A^2+A_1A_2^2}{2  A_1A_2^2}$
$b=\dfrac {B_1B^2-B_2B^2+B_1B_2^2}{2  B_1B_2^2}$
$c=\dfrac {C_1C^2-C_2C^2+C_1C_2^2}{2  C_1C_2^2}$
$d=\dfrac {D_1D^2-D_2D^2+D_1D_2^2}{2  D_1D_2^2}$

On obtient les relations vectorielles suivantes:

$\overrightarrow {A_1A}=a \overrightarrow {A_1A_2}$
$\overrightarrow {B_1B}=b \overrightarrow {B_1B_2}$
$\overrightarrow {C_1C}=c \overrightarrow {C_1C_2}$
$\overrightarrow {D_1D}=d \overrightarrow {D_1D_2}$

On obtient les mesures géométriques des bipoints selon:

$A_1A=\sqrt {a^2} A_1A_2$
$B_1B=\sqrt {b^2} B_1B_2$
$C_1C=\sqrt {c^2} C_1C_2$
$D_1D=\sqrt {d^2} D_1D_2$

$A_1A=\sqrt {(a-1)^2} A_1A_2$
$B_1B=\sqrt {(b-1)^2} B_1B_2$
$C_1C=\sqrt {(c-1)^2} C_1C_2$
$D_1D=\sqrt {(d-1)^2} D_1D_2$

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Si la supposition est exacte alors on obtient

En notant $r$ la longueur du côté du carré ABCD
$R=\sqrt {2} r $ la longueur de la diagonale du carré ABCD

donc:

$r^2=AB^2=BC^2=CD^2=DA^2$
$R^2=AC^2=BD^2$

Alors on obtient les six équations suivantes:

$AB^2=A_1B_1^2+a^2A_1A_2^2+b^2B_1B_2^2$
$+a\left(B_1A_2^2-A_1B_1^2-A_1A_2^2\right)$
$+b\left(A_1B_2^2-A_1B_1^2-B_1B_2^2\right)$
$+ab\left(A_1B_1^2+A_2B_2^2-A_1B_2^2-A_2B_1^2\right)$

$BC^2=B_1C_1^2+b^2B_1B_2^2+c^2C_1C_2^2$
$+b\left(C_1B_2^2-B_1C_1^2-B_1B_2^2\right)$
$+c\left(B_1C_2^2-B_1C_1^2-C_1C_2^2\right)$
$+bc\left(B_1C_1^2+B_2C_2^2-B_1C_2^2-B_2C_1^2\right)$

$CD^2=C_1D_1^2+c^2C_1C_2^2+d^2D_1D_2^2$
$+c\left(D_1C_2^2-C_1D_1^2-C_1C_2^2\right)$
$+d\left(C_1D_2^2-C_1D_1^2-D_1D_2^2\right)$
$+cd\left(C_1D_1^2+C_2D_2^2-C_1D_2^2-C_2D_1^2\right)$

$DA^2=D_1A_1^2+d^2D_1D_2^2+a^2A_1A_2^2$
$+d\left(A_1D_2^2-D_1A_1^2-D_1D_2^2\right)$
$+a\left(D_1A_2^2-D_1A_1^2-A_1A_2^2\right)$
$+da\left(D_1A_1^2+D_2A_2^2-D_1A_2^2-D_2A_1^2\right)$

$AC^2=A_1C_1^2+a^2A_1A_2^2+c^2C_1C_2^2$
$+a\left(C_1A_2^2-A_1C_1^2-A_1A_2^2\right)$
$+c\left(A_1C_2^2-A_1C_1^2-C_1C_2^2\right)$
$+ac\left(A_1C_1^2+A_2C_2^2-A_1C_2^2-A_2C_1^2\right)$

$BD^2=B_1D_1^2+b^2B_1B_2^2+d^2D_1D_2^2$
$+b\left(D_1B_2^2-B_1D_1^2-B_1B_2^2\right)$
$+d\left(B_1D_2^2-B_1D_1^2-D_1D_2^2\right)$
$+bd\left(B_1D_1^2+B_2D_2^2-B_1D_2^2-B_2D_1^2\right)$

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Traitement avec des coniques

Dans un repère orthonormé d'origine $O$ et de base orthonormée $\left(\overrightarrow {i},\overrightarrow {j}\right)$

on va considérer les équations de six coniques $\Omega _k$ avec $k\in \mathbb {N}^*_6$ définies par:

$a_kx^2+2b_kxy+c_ky^2+d_kx+e_ky+f_k=0$ avec:

$a_1=2 A_1A_2^2$
$b_1=A_1B_1^2+A_2B_2^2-A_1B_2^2-A_2B_1^2$
$c_1=2 B_1B_2^2$
$d_1=2\left(B_1A_2^2-A_1B_1^2-A_1A_2^2\right)$
$e_1=2\left(A_1B_2^2-A_1B_1^2-B_1B_2^2\right)$
$f_1=2 \left(A_1B_1^2-r^2\right)$

En fait avec cette première conique en mauve dans l'image ci-dessous

Je reviendrai pour la suite de mon propos
Il y a cinq autres coniques à faire
puis ensuite il faudra que je les traite

Bonjour à tous !

Je vais continuer le début des 2 cas en prenant un carré indirect. Nouveaux cas ou non ?

Après on fait du dénombrement !

G sur d1 mais H sur d3, puis I et J sur d2 d4 ou d4 d2, en direct ou indirect : 4 cas

G sur d1 mais H sur d4, puis ... 4 cas

G sur d2 et H sur d3 ...4 cas

G sur d2 et H sur d4 ... 4 cas

Gsur d3 et H sur d4 ... 4 cas

Donc environ 20 cas ???

B-m