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NathanielSloane · 21-01-2026 22:29:52

Hello

Bernard-maths · 21-01-2026 19:06:43

Bonsoir à tous !

Suite du meccano : les segments des côtés, et les points des sommets.

On dispose pour chaque côté de 2 plans perpendiculaires et de 2 fonctions indicatrices pour limiter ...

cailloux · 21-01-2026 13:54:35

Bonjour Bernard-maths,
Je vois que tu es paré pour modéliser le Saarpolygon (près de chez moi) :)

Bernard-maths · 21-01-2026 13:37:26

Je continue ... Les équations des 3 plans sont telles que les expressions f1, f2 et f3(x, y, z) sont > 0 do côté du triangle ABC.

Du coup on peut fabriquer des fonctions indicatrices i1, i2 et i3 telles que i1(x, y, z) = signe[racine(f1(x, y, z)) + 0.5], qui est égale à 1 sur le plan (P1) et dans le demi plan du côté de C. i1 = signum(sqrt(n1x*(x - xa) + n1y*(y - ya) + n1z*(z - za)) + 0.5). Non définie sur le demi espace opposé à C.

On a de même : i2 = signum(sqrt(n2x*(x - xb) + n2y*(y - yb) + n2z*(z - zb)) + 0.5), et i3 = signum(sqrt(n3x*(x - xc) + n3y*(y - yc) + n3z*(z - zc)) + 0.5).

Ces 3 fonctions ne sont pas définies sur les autres demis espaces.

On obtient le programme et figure :

Bernard-maths

Bernard-maths · 21-01-2026 10:08:23

Bonjour à tous !

Avec le même triangle ABC ... dans l'espace, si on le regarde "de face", soit il est vu dans le sens trigo direct, soit le contraire, selon le côté du plan (ABC) où l'on est.

Regardons ABC dans le sens direct, et soit $\overrightarrow{n}$ = $\overrightarrow{AB}$ ^ $\overrightarrow{BC}$, alors $\overrightarrow{n}$ pointe vers nous, car le triplet $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{n}$ est direct.

Une équation du plan (ABC), de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ (et passant par A) est :

f(x, y, z) = nx*(x-xa) + ny*(y-ya) + nz*(z-za) = 0, avec $\overrightarrow{n}$ (nx, ny, nz) et A (xa, ya, za).

Considérons le point A' tel que $\overrightarrow{n}$ = $\overrightarrow{AA'}$, alors A' (xa+nx, ya+ny, za+nz).

Si on calcule f(A') = f(xa+nx, ya+ny, za+nz) = ... = nx² + ny² + nz² > 0 !

En conclusion, et de façon générale, si f(x, y, z) = ax + by + cz + d = 0 est l'équation d'un plan, alors $\overrightarrow{n}$ (a, b, c) est un vecteur normal au plan, et f(x, y, z) > 0 du côté où pointe $\overrightarrow{n}$.

Cherchons maintenant les plans perpendiculaires à (ABC) et passant par les 3 côtés de ABC.

Soit $\overrightarrow{n1}$ = $\overrightarrow{n}$ ^ $\overrightarrow{AB}$, on a n1x := ny*(zb - za) - nz*(yb - ya); n1y := nz*(xb - xa) - nx*(zb - za); n1z := nx*(yb - ya) - ny*(xb - xa); alors $\overrightarrow{n1}$ est "dans le plan" (ABC), et pointe du même côté que C par rapport à la droite (AB) ...

et une équation du plan (P1) est : n1x*(x - xa) + n1y*(y - ya) + n1z*(z - za) = 0.

De même avec : $\overrightarrow{n2}$ = $\overrightarrow{n}$ ^ $\overrightarrow{BC}$, on a n2x := ny*(zc - zb) - nz*(yc - yb); n2y := nz*(xc - xb) - nx*(zc - zb); n2z := nx*(yc - yb) - ny*(xc - xb); et (P2) : n2x*(x - xb) + n2y*(y - yb) + n2z*(z - zb) = 0.

Puis $\overrightarrow{n3}$ = $\overrightarrow{n}$ ^ $\overrightarrow{CA}$, on a n3x := ny*(za - zc) - nz*(ya - yc); n3y := nz*(xa - xc) - nx*(za - zc); n3z := nx*(ya - yc) - ny*(xa - xc); et (P3) : n3x*(x - xc) + n3y*(y - yc) + n3z*(z - zc) = 0.

Voici le programme et les 3 plans :

Bernard-maths

Bernard-maths · 20-01-2026 11:18:27

Bonjour à tous !

Sur les équations de triangles en 3D, il y a pourtant une formule que j'ai donnée il y a déjà 3 ou 4 ans. je vais la reprendre ici, et montrer ses limites !

Cette formule ressemble à celle donnée par Hewlett Packard pour sa HP25 en 1975.

Elle est "évidente" pour un triangle.

Je ne fais pas de dessin, suivez mentalement : soit un triangle ABC et M un point du plan (ABC) (pour commencer). On peut tracer 3 triangles MAB, MBC et MCA. On va constater que la somme des aires, de ces 3 triangles, est égale à l'aire de ABC si, et seulement si, M est intérieur au triangle ABC, ou sur son périmètre. Ceci est encore vrai en 3D ... (pour finir).

Pour calculer les aires des triangles on utilise le produit vectoriel.

Soient A(xa, ya, za), B(xb, yb, zb) et C(xc, yc, zc) les 3 sommets en 3D et M(x, y, z), on a les 4 produits vectoriels :

$\overrightarrow{MA}$ ^ $\overrightarrow{MB}$ : [ (y - ya)*(z - zb) - (z - za)*(y - yb); (z - za)*(x - xb) - (x - xa)*(z - zb); (x - xa)*(y - yb) - (y - a)*(x - xb) ]
$\overrightarrow{MB}$ ^ $\overrightarrow{MC}$ : [ (y - yb)*(z - zc) - (z - zb)*(y - yc); (z - zb)*(x - xc) - (x - xb)*(z - zc); (x - xb)*(y - yc) - (y - yb)*(x - xc) ]
$\overrightarrow{MC}$ ^ $\overrightarrow{MA}$ : [ (y - yc)*(z - za) - (z - zc)*(y - ya); (z - zc)*(x - xa) - (x - xc)*(z - za); (x - xc)*(y - ya) - (y - yc)*(x - xa) ]

$\overrightarrow{CA}$^$\overrightarrow{CB}$:[ (yc - ya)*(zc - zb)-(zc - za)*(yc - yb); (zc - za)*(xc - xb)-(xc - xa)*(zc - zb); (xc - xa)*(yc - yb)-(yc - a)*(xc - xb)]

On sait que || $\overrightarrow{MA}$ ^ $\overrightarrow{MB}$ || = 2* aire(MAB), etc ... et || $\overrightarrow{CA}$^$\overrightarrow{CB}$ || = 2* aire(CAB).

Et on a donc la formule : || $\overrightarrow{MA}$ ^ $\overrightarrow{MB}$ || + || $\overrightarrow{MB}$ ^ $\overrightarrow{MC}$ || + || $\overrightarrow{MC}$ ^ $\overrightarrow{MA}$ || = || $\overrightarrow{CA}$^$\overrightarrow{CB}$ ||

qui caractérise les points du triangle plein, bords compris.

Voici le programme Maple correspondant :

Les vues sont presque de face et presque de profil.

Vous remarquerez, qu'après la zone en rouge, se glisse un + 0.02 : c'est un epsilon ajouté au membre de droite, sinon Maple ne trac rien !
L'équation est "trafiquée" pour donner du volume au triangle cherché, alors il devient visible !

De plus la définition de finesse du tracé g = 300 ! Demande d'une bonne précision des calculs !

En conclusion : cette équation est bonne mais demande des aménagements pour le tracé.

Nous verrons ensuite la méthode des fonctions indicatrices pour le même triangle, et on pourra comparer ...

Bernard-maths

Bernard-maths · 13-01-2026 09:08:23

Bonjour à tous !

Suite avec le tétraèdre ABCD, avec A(a,-a,0), B(a,a,0), C(-a,0,-a) et D(-a,0,a) et a=8 par ex.

Les arêtes [AB] et [CD] sont horizontale //(y'y) et verticale //(z'z), les 4 autres obliques, avec z entre -a et +a.

Commençons avec les obliques, cas général vu ci dessus ... et 1ère équation ci dessous :

Ensuite les 4 arêtes obliques, et enfin les 6.

Bernard-maths

Bernard-maths · 12-01-2026 19:07:32

Bonsoir à tous !

Passons aux arêtes ...

Une arête est un segment de droite, dans le plan ou l'espace. Etant donnés 2 points A(xa, ya, za) et B(xb, yb, zb), un point M sera sur la droite (AB) à condition que les coordonnées des vecteurs AM et AB soient proportionnelles. Ce qui conduit au système d'équations cartésiennes : (x-xa)/(xb-xa) = (y-ya)/(yb-ya) = (z-za)/(zb-za),
qu'on peut aussi écrire comme système : (1) (x-xa)/(xb-xa) - (z-za)/(zb-za) =0 et (2) (y-ya)/(yb-ya) - (z-za)/(zb-za) =0.

Les 2 équations sont des équations de plans, et la droite (AB) en est l'intersection.

Pour traduire en une équation que ces 2 équations sont vraies, on peut écrire que la somme des carrés des membres gauches est égale à 0 !

[(x-xa)/(xb-xa) - (z-za)/(zb-za)]² + [(y-ya)/(yb-ya) - ((z-za)/(zb-za)]² = 0. Ce qui donne une équation cartésienne de la droite (AB) !

A gauche on voit en gras la formule proposée, et la droite tracée (entre -10 et +10 en z). A droite la même droite limitée entre -5 et +8 par la fonction indicatrice rouge en z, pour le segment [AB].

Remarque : les formules sont justes avec =0, Mais Maple ne trace rien, il faut lui mettre un petit epsilon = 0.001 ici !

Bernard-maths

Bernard-maths · 04-01-2026 20:00:24

Bonsoir à tous !

La suite avec un exemple d'objet (une sphère de centre O) qui coupe la zone tétraédrique : elle est découpée et il ne reste que ce qui est intérieur au tétraèdre :

On voit bien les découpes en biais selon les faces du tétraèdre.

On peut rajouter les 4 sommets, sous forme de petites sphères !

l'équation dessous est rajouter à la fin, avant le ] terminal.

Voilà, il ne reste plus que les 6 arêtes !!!

Bernard-maths

Zebulor · 04-01-2026 18:51:13

Hello Bernard,

et meilleurs voeux (vioeux ? :-) !

Bernard-maths a écrit :

Soit la norme de $\overrightarrow{MN}$ ; MN² = (xm-xn)²+(ym-yn)²+(zm-zn)². YOSHI !!! Je n'arrive pas à écrire MN = Rac carrée de ()²+()²+()²

MN =\sqrt {(x_m-x_n)^2+(y_m-y_n)^2+(z_m-z_n)^2}
ce qui donne en encadrant la formule par un dollar (de chaque côté)
$MN=\sqrt {(x_m-x_n)^2+(y_m-y_n)^2+(z_m-z_n)^2}$

Bernard-maths · 03-01-2026 21:04:17

Bonsoir à tous !

N'oubliez pas : bonne année pour bibmath !!! Et meilleurs vioeux à tous ...

Quémandeur = qui est demandeur ... Y'en a pas eu ... bande de fêtards (;-)

Regardons ces équations. Il s'agit d'un tétraèdre à centre de symétrie O(0,0,0), non régulier. [AB] est le segment rouge et jaune, A devant sur fig gauche, et B derrière à droite. [CD] le segment vertical, C en bas D en haut. Les équations des 4 plans sont ; (x-2z-a=0) et (x+2z-a=0) en rouge et jaune, (-x-2y-a=0) et (-x+2y-a=0) en vert et bleu.

Dans ces équations les membres de gauche sont négatifs du côté du point O (car le terme constant est -a<0). En utilisant la fonction max (....)=0, on aurait le tétraèdre, en une couleur.

Prenons pour exemple la face jaune bien visible. f(x,y,z) = -x-2z+a est = 0 sur le plan de la face, <0 vers l'extérieur du tétraèdre, et >0 vers le point O à l'intérieur.

Si on prend la racine carrée de f, on obtient une fonction g=0 sur le plan, non définie vers l'extérieur du tétraèdre, et >0 vers le point O.

Si on lui ajoute 0.5, alors g >0 vers O ET sur le plan. En en prenant le signe, on obtient alors 1 où g+0.5 est positive, et non défini ailleurs !

On a une fonction indicatrice du demi espace fermé, de frontière le plan (ABD), et tourné vers O.

On fait de même pour les 3 autres plans, alors on a 4 fonctions indicatrices, de demi espaces, si on en fait le produit on obtient finalement une fonction indicatrice valant 1 dans le tétraèdre fermé (faces comprise), et non définie en dehors du tétraèdre !

Suite demain, vais lala au dodo, sisi, mimi ?

B-m

Bernard-maths · 31-12-2025 17:08:27

Bonjour à tous !

Le meccano continue : face par face.

Chacune des 4 faces est en même couleur dans le programme Mapple au dessus.

La face jaune, par ex, se trace avec les 4 produits jaunes : le 1er est l'équation du plan contenant la face jaune, les 3 autres sont des fonctions indicatrices liées aux 3 autres plans, valant 1 dans l'espace du demi plan de chaque côté tourné vers l'intérieur du tétraèdre, et non définies ailleurs (autre demi plan).

Plus de détail pour les quémandeurs ... (;-)

Bernard-maths

yoshi · 15-12-2025 10:25:27

RE,

Moi, j'en pense que tant avec tes liens qu' avec celui de Recassol,
La page sur laquelle je tombe se nomme Upload, Dossier partagé : je m'attendais à Download...
Sinon, je suis comme une poule qui trouve un couteau : je ne sais qu'en faire !

Mode d'emploi inexistant ou crise de sénilité précoce (79 ans en mars, faut que je commence à me surveiller, s'pas)...

Bah, c'est pô grave, j'ai beaucoup d'autres choses à faire... Continuez à jouer sans moi !

@+

Bernard-maths · 15-12-2025 07:40:38

Bonjour à Yoshi, et à tous !

J'essaye de charger un fichier GeoGebra !!!

https://uploadnow.io/f/Q2XCbDt

Ca a l'air de fonctionner !!!

AVEC ; https://uploadnow.io/fr?utm_source=catupload

Yoshi, qu'en penses-tu ???

B-m

PS : ce lien expire au bout de trois jours !!!

le 22/01/2026

Bernard-maths · 10-12-2025 10:52:50

Bonjour à tous !

J'ai rajouté quelques commentaire au post #3 précédent ... Pour la suite, par duplication circulaire sur les lettres, après ajout de C et D, on peut avoir les segments [BC] et [CD] :

Vu à plat et en 3D ... Voici les équations :

r1 = sqrt((xb - xa)² + (yb - ya)²) / 2 ; a1' = sgn(0.5 - sgn((x - (xa + xb) / 2)² + (y - (ya + yb) / 2)² - r1²)) ; eq1s : ((x - xa) (yb - ya) - (y - ya) (xb - xa)) sqrt(a1'(x, y)) = 0

r2 = sqrt((xc - xb)² + (yc - yb)²) / 2 ; a2' = sgn(0.5 - sgn((x - (xb + xc) / 2)² + (y - (yb + yc) / 2)² - r2²)) ; eq2s : ((x - xb) (yc - yb) - (y - yb) (xc - xb)) sqrt(a2'(x, y)) = 0

r3 = sqrt((xd - xc)² + (yd - yc)²) / 2 ; a3' = sgn(0.5 - sgn((x - (xc + xd) / 2)² + (y - (yc + yd) / 2)² - r3²)) ; eq3s : ((x - xc) (yd - yc) - (y - yc) (xd - xc)) sqrt(a3'(x, y)) = 0

Bien sur on peut regrouper ... etc ...

eq1s : ((x - xa) (yb - ya) - (y - ya) (xb - xa)) sqrt(sgn(0.5 - sgn((x - (xa + xb) / 2)² + (y - (ya + yb) / 2)² - (sqrt((xb - xa)² + (yb - ya)²) / 2)²))) = 0

Avec GeoGebra les équations restent séparées, pas moyen de faire une seule équation produit, il ne comprend pas !

Je vais essayer avec Maple ... avec cette formule, Maple ne fonctionne pas sur le signe du disque !!! BOF ??? Faut trouver une autre formule ...

PAR CONTRE, SI VOUS POUVEZ ESSAYER SUR VOTRE LOGICIEL, MERCI DE ME DIRE CE QUE CA DONNE !!!

Bernard-maths

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