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gebrane · 03-11-2025 22:42:27

Bonjour; j'ai laissé une peu de temps avant de proposer une solution mais Bravo à tous
Je propose ceci :
Supposons qu’il existe un tel quadruplet d'entiers naturels non tous nuls
Choisissons la solution pour laquelle la quantité $x^2 + y^2$ est la plus petite possible.
Soit $(a, b, c, d)$ cette solution choisie. Alors :

$$a^2 + b^2 = 3(c^2 + d^2) \Rightarrow 3 \mid (a^2 + b^2) \Rightarrow 3 \mid a \text{ et } 3 \mid b.$$

Ainsi, on peut écrire $a = 3a_1$ et $b = 3b_1$.

En remplaçant, on obtient :
$$a^2 + b^2 = 9(a_1^2 + b_1^2) = 3(c^2 + d^2) \Rightarrow c^2 + d^2 = 3(a_1^2 + b_1^2).$$

On a donc trouvé une nouvelle solution $(c, d, a_1, b_1)$ telle que
$$c^2 + d^2 < a^2 + b^2,$$
ce qui contredit le choix initial de la solution minimisant $x^2 + y^2$.

Reouven · 03-11-2025 11:40:20

Pas de souci, c'est noté (même si dans tous les cas, de telles modifications, n'ont jamais eu que pour unique but de répondre à l'exercice posé).

yoshi · 03-11-2025 11:23:37

Bonjour,

Stop aux modifications inopportunes - à retardement - et aux provocations gratuites : cela ne va pas dans le sens souhaité par nos Règles de fonctionnement :

L'objectif de BibM@th est de créer un lieu d'échange, d'entraide, d'information ouvert à tous. Les utilisateurs sont invités à faire de ce forum un moyen de communication convivial, ouvert.

Sinon, j'emprunterai les ciseaux d'Anastasie et si ce n'était pas suffisant, j'ouvrirais la porte en grand !

Yoshi
- Modérateur -

Reouven · 03-11-2025 10:49:50

J'espère que ça t'a fait du bien de te défouler.

bridgslam · 03-11-2025 10:43:27

Entre tes découvertes absolument "géniales" ( nouvelle construction des complexes pour les terminales, totalement incohérente et notations inutiles et absconses) , tes plagiats, et autres propos déplacés, les gens de bonne foi sur ce forum en sont hélas réduits à 3 chances ( ou plutôt malchances ) sur 3.
Événement certain: perdre leur temps avec tes écrits/trouvailles plus que douteux et remarques tordues.

Pas un choix fabuleux donc, tu en conviendras!

PS: bravo aussi pour le courage dans tes messages modifiés, à ton habitude, pour tenter d' en émousser le venin au fil des posts. Ça n'arrange pas ton cas!

Reouven · 03-11-2025 10:27:17

Ça y est, je me suis rendu coupable...

bridgslam · 03-11-2025 10:19:48

Bonjour,

Fac similé effectivement.

A.

Reouven · 03-11-2025 10:04:56

S'il existe un tel quadruplet ($h1$), alors $x^2 + y^2$ serait divisible par $3$.

Et donc $x$ et $y$ seraient aussi congrus à $0$ modulo $3$.
En posant, $x=3k,\ y=3m$, de (h1) on obtient :
$x^2+y^2=3\ (u^2+z^2)=9\ (k^2 + m^2)$
D'où $u^2+z^2=3\ (k^2 + m^2)$

En appliquant le même raisonnement, on aurait $u$ et $z$ divisibles aussi par $3$, et $x^2+y^2=3^2\ (k^2+ m^2)$ et en appliquant le même raisonnement sur $u,\ z,\ k,\ m$, on aurait $\exists\ i,\ j$ entiers naturels tels que $k^2+m^2=3\ (i^2+j^2)$ et donc $u^2+z^2=3^2\ (i^2 + j^2)$ et $x^2+y^2=3^3\ (i^2 + j^2)$ et ainsi de suite...
On aurait ainsi $\forall n \ge 1,\ \exists\ i_n,\ j_n$ entiers naturels tels que $x^2+y^2=3^n\ ({i_n}^2 + {j_n}^2)$.

Ce qui est absurde, sauf si $\exists N$ tel que $\forall n \ge N,\ i_n=j_n=0$, soit $x=y=0$, et en revenant à ($h1$) : $u=z=0$.

Donc, en conclusion, la seule solution est $x=y=u=z=0$.

PS : c'est, je pense, le même principe que dans la démonstration du message précédent.

bridgslam · 03-11-2025 03:58:23

Bonjour,

Un carré ne pouvant être visiblement égal à 2 modulo 3,
et comme 3 divise la somme de carrés de gauche
on voit aussitôt que x et y doivent être multiples de 3.
Donc si x ou y était non nul, u ou v serait non nul, et en divisant par 3, on obtientrait une expression similaire satisfaite aussi par des entiers non nuls str. inférieurs x' ,y' respectivement à x ou y.
Donc en réitérant indéfiniment cette idée on aurait une infinité d'entiers naturels inférieurs à l'un ou l'autre des quatre entiers de l'égalité initiale... ( on bascule entre les x,y et u,v perpétuellement).
Contradiction.
Ainsi le quadruplet (0,0,0,0) est le seul solution.

Remarque: en décomposant par étapes de calcul, si par exemple x et u sont non nuls, on aurait les suites:

x , x/3, x/3, x/3/3, x/3/3, x/3/3/3, ....
u, u, u/3, u/3, u/3/3, u/3/3, ...

Chaque suite est constante une fois sur deux alternativement , mais la décroissance stricte une fois sur deux de chacune implique une absurdité d'hypothèse. Double absurdité si je puis dire, car ces suites sont distinctes!
Alain

Rescassol · 02-11-2025 23:22:04

Bonsoir,

On sait qu'un entier peut s'exprimer comme somme de deux carrés si et seulement si ses facteurs premiers de la forme $4n+3$ sont de valuation paire. Ça devrait suffire.

Cordialement,
Rescassol

Roro · 02-11-2025 22:55:52

Bonsoir,

Ne peut-on pas s'en sortir juste en distinguant les quelques cas selon la parité de $x$, $y$, $z$ et $u$ ?

Roro.

gebrane · 02-11-2025 22:35:23

Bonjour;
Une jolie question!

Montrer qu' Il n’existe aucun quadruplet d’entiers naturels $(x, y, z, u)$ satisfaisant
$$x^2 + y^2 = 3(z^2 + u^2).$$

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